Quartz 5

telekommunikation-lernzettel

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Lernzettel Telekommunikation 4AT

Kondensator (RC) · Spule (RL) · Wechselstrom · Messtechnik · Arduino

0. Grundregeln für jede Aufgabe

  1. Angabe lesen, alle Werte mit Einheiten herausschreiben (µ = 10⁻⁶, m = 10⁻³, k = 10³).
  2. Skizze machen (Schaltung bzw. Diagramm).
  3. Formel hinschreiben, dann Zahlen einsetzen, dann Ergebnis mit Einheit.
  4. Bei Diagrammen: Achsen-Skalierung prüfen (ms oder s? V oder mV?).
  5. Bei „Erkläre” immer mit Begründung antworten (Warum? Was passiert physikalisch?).
  6. Ergebnis auf Plausibilität prüfen (z. B. U_C kann nie größer als U_Quelle sein).

1. Kondensator (RC-Glied)

1.1 Grundlagen

  • Kondensator speichert Ladung: Q = C · U
  • Zeitkonstante: τ = R · C (Einheit: Sekunden)
  • Spannung am Kondensator kann nicht springen, sie ändert sich stetig.
  • Der Strom kann springen.
  • Es gilt immer die Maschenregel: U_Quelle = u_R + u_C

1.2 Laden (Quelle schaltet auf U, Start bei 0 V)

  • u_C(t) = U · (1 − e^(−t/τ))
  • i(t) = (U/R) · e^(−t/τ)
  • u_R(t) = U · e^(−t/τ)

1.3 Entladen (Quelle 0 V, Start bei U₀)

  • u_C(t) = U₀ · e^(−t/τ)
  • i(t) = −(U₀/R) · e^(−t/τ) (negativ, Strom fließt in Gegenrichtung)
  • u_R(t) = −U₀ · e^(−t/τ)

1.4 Allgemeine Formel (teilweise Laden/Entladen)

u_C(t) = U_Ende + (U_Start − U_Ende) · e^(−t/τ)

  • Beim Laden ist U_Ende = Quellspannung (z. B. 5 V).
  • Beim Entladen ist U_Ende = 0 V.
  • Immer mit dem aktuellen Startwert der Phase rechnen!

1.5 Merkwerte

ZeitLadenEntladen
1τ63 %37 %
2τ86 %14 %
3τ95 %5 %
5τ99,3 % („voll”)0,7 % („leer”)

Theoretisch wird der Endwert nie ganz erreicht (lim t→∞), praktisch nach ca. 5τ.

1.6 Verläufe zeichnen

  • u_C: exponentielle Kurve, steigt/fällt stetig, Tangente bei t = 0 trifft den Endwert bei t = τ.
  • u_R = U_Gen − u_C: springt bei Flanke auf ±U und klingt auf 0 ab (Nadelimpulse).
  • i = u_R / R: gleiche Form wie u_R, nur anders skaliert (Einheit mA).
  • Beim Einschalten ist der Strom maximal (I₀ = U/R), am Ende 0.

1.7 Aus dem Diagramm auslesen

  • Periodendauer T: Abstand zwischen zwei gleichen Flanken (z. B. steigende bis steigende). Nicht der Versatz der ersten Flanke!
  • Frequenz: f = 1/T
  • τ bestimmen (eine der Methoden):
    • Bei 63 % des Endwerts die Zeit ablesen (5 V → 3,15 V).
    • Halbperiode ≈ 5τ, also τ ≈ T/10 (nur wenn der Kondensator fast voll/leer wird).
  • Widerstand: R = τ / C

1.8 Beispiele aus dem Test

  • Aufgabe 1: Flanken bei 11,5 / 24 / 36,5 / 49 ms ergibt T ≈ 25 ms, f ≈ 40 Hz. Halbperiode 12,5 ms ≈ 5τ, also τ ≈ 2,5 ms, C = 1 µF, daher R = 2,5 kΩ.
  • Aufgabe 2b: τ = 2,2 s, C = 200 µF, daher R = 2,2 s / 200 µF = 11 kΩ.

2. Spule (RL-Glied)

2.1 Grundlagen

  • Zeitkonstante: τ = L / R_gesamt
  • Strom durch die Spule kann nicht springen.
  • Die Spannung an der Spule kann springen.
  • u_L = L · di/dt
  • Gleichspannung, eingeschwungen: Die ideale Induktivität ist ein Kurzschluss (u_L = 0 V). Es bleibt nur der Innenwiderstand Rᵢ.
  • Die Spule hat einen Innenwiderstand Rᵢ (reale Spule = L in Reihe mit Rᵢ).

2.2 Einschalten

  • i(t) = I_Ende · (1 − e^(−t/τ)), mit I_Ende = U / R_ges
  • Start bei 0 A, Strom steigt exponentiell.
  • u_L(t) = U · e^(−t/τ), springt zuerst auf U und fällt dann auf 0.

2.3 Ausschalten

  • i(t) = I₀ · e^(−t/τ)
  • Der Strom fließt weiter, in dieselbe Richtung durch die Spule, aber durch den Parallelwiderstand in Gegenrichtung (dort wird die Spannung negativ).
  • Spannungsspitze: u_R(0) = −I₀ · R (kann sehr groß werden!). Deshalb Freilaufdioden bei Relais.

2.4 Beispiel aus dem Test (Aufgabe 3)

Angabe: L = 50 mH, Rᵢ = 45 Ω, parallel R = 5 kΩ, Quelle 5 V.

a) Eingeschwungen:

  • Spule: U = 5 V, I_L = 5 V / 45 Ω = 111,1 mA, u_L = 0 V
  • Widerstand: U = 5 V, I_R = 5 V / 5 kΩ = 1 mA
  • Gesamtstrom = 112,1 mA

b) Quelle wird getrennt:

  • Kreis aus Spule und R: R_ges = 45 + 5000 = 5045 Ω
  • τ = L / R_ges = 0,05 / 5045 ≈ 9,9 µs
  • i_L(t) = 111,1 mA · e^(−t/τ)
  • u_R(t) = −555,6 V · e^(−t/τ) (vorher +5 V, Sprung auf −555,6 V)
  • Nach ca. 5τ ≈ 50 µs ist alles abgeklungen.

3. Wechselstrom

3.1 Formeln

  • Sinus: u(t) = Û · sin(ω·t ± φ)
  • T = 1/f, f = 1/T
  • ω = 2π · f
  • Amplitude Û, Î = Maximalwert (Scheitelwert)
  • Effektivwerte: U_eff = Û / √2, I_eff = Î / √2 (≈ 0,707 · Û)
  • Spitze-Spitze: U_SS = 2 · Û

3.2 Phasenverschiebung

  • Zeitdifferenz Δt zwischen zwei gleichen Punkten (z. B. Nulldurchgang) ablesen.
  • φ = Δt / T · 360° (oder φ = Δt / T · 2π in rad)
  • Umrechnung: 180° = π, 90° = π/2, 60° = π/3
  • Die Kurve, die früher ihren Nulldurchgang bzw. Maximum hat, eilt voraus, die andere läuft nach.
  • Dann schreibt man: nacheilend = sin(ωt − φ), voreilend = sin(ωt + φ).

3.3 Leistung

  • Wirkleistung: P = U_eff · I_eff · cos φ (Einheit W)
  • Scheinleistung: S = U_eff · I_eff (VA)
  • Blindleistung: Q = U_eff · I_eff · sin φ (var)
  • cos φ = Leistungsfaktor. φ = 0° → P = S (nur Wirkleistung), φ = 90° → P = 0.

3.4 Beispiel aus dem Test (Aufgabe 4)

  • u: Û = 3 V, T = 0,01 s, f = 100 Hz
  • i: Î = 2 A, T = 0,01 s, f = 100 Hz
  • i hat bei t = 0 Nulldurchgang, u erst bei ca. 1,67 ms, also φ = 1,67/10 · 360° = 60° = π/3 (u läuft nach)
  • u(t) = 3 V · sin(2π·100·t − π/3), i(t) = 2 A · sin(2π·100·t)
  • U_eff = 3/√2 = 2,12 V, I_eff = 2/√2 = 1,41 A
  • P = 2,12 · 1,41 · cos 60° = 1,5 W

4. Messung mit dem PicoScope

4.1 Anschluss (Aufgabe 1a)

  • Kanal A parallel zum Funktionsgenerator (Signal oben, Masse unten)
  • Kanal B parallel zum Kondensator
  • Massen beider Kanäle am gemeinsamen Massepunkt (unterer Knoten)
  • Das PicoScope misst immer parallel zum Bauteil, nie in Reihe.

4.2 Einstellungen in der Oberfläche

  • Kanal B einschalten: Kanal-Schaltfläche links oben in der Symbolleiste
  • Zeitbasis (Zeit/div): Feld in der oberen Symbolleiste, verändert die x-Achse
  • Spannungsbereich: pro Kanal links, z. B. ±5 V, Kopplung DC
  • Trigger: unten links, Quelle Kanal A, steigende Flanke, ca. 2,5 V, damit das Bild stabil steht
  • Mit Messungen/Lineal kann man T, f, Spannungen ablesen.

4.3 Vorgehen bei der Messung

  1. Schaltung aufbauen, Kanäle anschließen.
  2. Funktionsgenerator auf TTL-Rechteck (0/5 V) einstellen.
  3. Zeitbasis so wählen, dass mindestens 2 Perioden sichtbar sind.
  4. Trigger setzen und Bild stabilisieren.
  5. Werte ablesen.

5. Arduino-Messung (Aufgabe 2)

5.1 Aufbau

  • Digitalpin D8 → Widerstand R → Kondensator C → GND
  • A0 am Knoten D8/R misst die Gesamtspannung U
  • A1 am Knoten R/C misst U_C
  • Der Arduino misst nur gegen GND, daher:
    • U_R = A0 − A1
    • I = U_R / R
  • Pin HIGH (5 V) = Laden, Pin LOW (0 V) = Entladen

5.2 Umrechnung

  • ADC hat 10 Bit: 0 bis 1023 entspricht 0 bis 5 V
  • U = analogRead(A0) · 5,0 / 1023,0
  • Übertragung über die serielle Schnittstelle: Serial.begin(9600), Serial.print(...)

5.3 Ablaufplan (Aufgabe 2c)

  1. Vollständig entladen (Pin LOW, ca. 5τ warten)
  2. 1,8 s laden (HIGH)
  3. 1,8 s entladen (LOW)
  4. 1 s laden (HIGH)
  5. Entladen (LOW)

Während jeder Phase laufend messen und senden.

5.4 Code

const int OUT = 8;
const float R = 11000.0;      // 11 kOhm
 
void phase(bool pegel, unsigned long ms) {
  digitalWrite(OUT, pegel);
  unsigned long t0 = millis();
  while (millis() - t0 < ms) {
    float u  = analogRead(A0) * 5.0 / 1023.0;
    float uc = analogRead(A1) * 5.0 / 1023.0;
    float ur = u - uc;
    float i  = ur / R;
    Serial.print(millis()); Serial.print(',');
    Serial.print(u);  Serial.print(',');
    Serial.print(uc); Serial.print(',');
    Serial.print(ur); Serial.print(',');
    Serial.println(i, 6);
    delay(50);
  }
}
 
void setup() {
  Serial.begin(9600);
  pinMode(OUT, OUTPUT);
  digitalWrite(OUT, LOW);
  delay(11000);          // entladen (5 tau)
  phase(HIGH, 1800);     // laden
  phase(LOW, 1800);      // entladen
  phase(HIGH, 1000);     // laden
  phase(LOW, 11000);     // entladen
}
void loop() {}

5.5 Werte für Diagramm (τ = 2,2 s, U = 5 V, R = 11 kΩ)

ZeitpunktU_CStrom i
t = 00 V+0,45 mA (Start Laden)
t = 1,8 s2,79 V+0,20 mA (Ende Laden)
t = 1,8 s (danach)2,79 V−0,25 mA (Start Entladen)
t = 3,6 s1,23 V−0,11 mA (Ende Entladen)
t = 3,6 s (danach)1,23 V+0,34 mA (Start Laden)
t = 4,6 s2,61 V+0,22 mA (Ende Laden)
danach→ 0 V−0,24 mA → 0 (Entladen)

6. Typische Fehler vermeiden

  • ❌ Periode = Zeit bis zur ersten Flanke → ✅ Abstand zweier gleicher Flanken
  • ❌ Amplitude = Effektivwert → ✅ U_eff = Û/√2
  • ❌ Phase „π + π/3” → ✅ nur den Versatz auswerten (hier π/3)
  • ❌ Einheit vergessen → ✅ immer V, A, Ω, s, Hz, W dazu
  • ❌ µ, m verwechselt → ✅ µ = 10⁻⁶, m = 10⁻³
  • ❌ Spannung am Kondensator springt → ✅ nur der Strom springt, u_C ist stetig
  • ❌ Spulenstrom springt → ✅ nur die Spulenspannung springt, der Strom ist stetig
  • ❌ Beim Spulen-Abschalten u_R positiv → ✅ negativ (Strom fließt durch R in Gegenrichtung)
  • ❌ τ = L/R mit nur einem Widerstand → ✅ R_ges im geschlossenen Kreis
  • ❌ Bei Teilladung immer bei 0 V starten → ✅ aktuellen Startwert einsetzen

7. Formel-Schnellübersicht

GrößeFormel
Frequenzf = 1/T
Kreisfrequenzω = 2πf
Zeitkonstante RCτ = R · C
Zeitkonstante RLτ = L / R_ges
Laden Cu_C = U · (1 − e^(−t/τ))
Entladen Cu_C = U₀ · e^(−t/τ)
Allgemeinu(t) = U_Ende + (U_Start − U_Ende) · e^(−t/τ)
Stromi = u_R / R
EffektivwertU_eff = Û / √2
Phaseφ = Δt / T · 360°
WirkleistungP = U_eff · I_eff · cos φ
OhmU = R · I

Viel Erfolg!

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