Übungsaufgaben_Test_15.10

Übungsaufgaben – Test 15.10.2026

Komplexe Zahlen & Vektoren · Formeln: Zusammenfassung_Test_15.10

Zuerst selbst rechnen, dann die Lösung aufklappen (auf ▸ klicken). Taschenrechner auf DEG!

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Teil A – Komplexe Zahlen

K1 – Potenzen von i

Berechne: a) $i^{47}$ b) $i^{102}$

Lösung

a) $47:4=11$ Rest $3$ → $i^{47}=i^3=-i$
b) $102:4=25$ Rest $2$ → $i^{102}=i^2=-1$

K2 – Komponentenform → Polarform

Gib in Polarform $(r;\phi )$ an: a) $z_1=-3+4i$ b) $z_2=-2-2i$

Lösung

a) $r=\sqrt{9+16}=5$
$\arctan \left(\frac{4}{-3}\right)=-53,13°$, aber $z_1$ liegt im II. Quadranten ($a<0,b>0$) → $\phi =-53,13°+180°=126,87°$
$z_1=(5;126,87°)$

b) $r=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\approx 2,83$
$\arctan \left(\frac{-2}{-2}\right)=45°$, aber $z_2$ liegt im III. Quadranten → $\phi =45°+180°=225°$
$z_2=(2,83;225°)$

K3 – Polarform → Komponentenform

Gib $z=(6;150°)$ in der Form $a+bi$ an.

Lösung

$a=6\cdot \cos (150°)=6\cdot (-0,866)\approx -5,20$
$b=6\cdot \sin (150°)=6\cdot 0,5=3$
$z\approx -5,20+3i$

K4 – Grundrechnungsarten in Komponentenform

$z_1=2+3i$, $z_2=1-2i$. Berechne $z_1+z_2$, $z_1-z_2$, $z_1\cdot z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$.

Lösung

$z_1+z_2=3+i$
$z_1-z_2=1+5i$
$z_1\cdot z_2=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{2+4i+3i+6i^2}{1+4}=\frac{-4+7i}{5}=-0,8+1,4i$

K5 – Rechnen in Polarform

$z_1=(4;30°)$, $z_2=(2;75°)$. Berechne $z_1\cdot z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$ und gib das Produkt auch in Komponentenform an.

Lösung

$z_1\cdot z_2=(4\cdot 2;30°+75°)=(8;105°)$
$\frac{z_1}{z_2}=\left(\frac{4}{2};30°-75°\right)=(2;-45°)=(2;315°)$ ← Hauptwert

Komponentenform des Produkts:
$a=8\cos (105°)\approx -2,07$, $b=8\sin (105°)\approx 7,73$ → $z_1{z}_2\approx -2,07+7,73i$

K6 – Potenz (Satz von Moivre)

Berechne $(1+i{)}^8$.

Lösung

$1+i=(\sqrt{2};45°)$
$(1+i{)}^8=\left((\sqrt{2}{)}^8;8\cdot 45°\right)=(16;360°)=16$

K7 – Wurzeln

Löse $z^3=8i$ und gib alle Lösungen in Polar- und Komponentenform an.

Lösung

$8i=(8;90°)$ → 3 Lösungen mit $r=\sqrt[3]{8}=2$, Winkelabstand $\frac{360°}{3}=120°$
$z_1=\left(2;\frac{90°}{3}\right)=(2;30°)=\sqrt{3}+i\approx 1,73+i$
$z_2=(2;150°)=-\sqrt{3}+i\approx -1,73+i$
$z_3=(2;270°)=-2i$

K8 – Quadratische Gleichung

Löse $x^2-6x+13=0$ in $\mathbb{C}$.

Lösung

$x_{1,2}=3\pm \sqrt{9-13}=3\pm \sqrt{-4}=3\pm 2i$
→ $x_1=3+2i$, $x_2=3-2i$ (konjugiert komplex)

K9 – Konjugiert komplex

$z=3-4i$. Berechne $z^{\ast }$, $z\cdot z^{\ast }$ und $\frac{1}{z}$.

Lösung

$z^{\ast }=3+4i$
$z\cdot z^{\ast }=3^2+4^2=25$
\dfrac1z = \dfrac{z^*{z \cdot z^*} = \dfrac{3 + 4i}{25} = 0{,}12 + 0{,}16i

K10 – Exponentialform

Gib $z=5\cdot e^{i\frac{\pi }{3}}$ in Polar- und Komponentenform an.

Lösung

$\frac{\pi }{3}=60°$ → $z=(5;60°)$
$a=5\cos (60°)=2,5$, $b=5\sin (60°)\approx 4,33$ → $z\approx 2,5+4,33i$

K11 – Anwendung Wechselstrom ⚡

Eine Spule hat den Widerstand $R=30\Omega$ und den Blindwiderstand $X_L=40\Omega$, also $\underline{Z}=30+40i\Omega$. Angelegt wird $\underline{U}=(230\text{ V};0°)$.

1. Berechne $|\underline{Z}|$ und den Phasenwinkel $\phi$.
2. Berechne den Strom $\underline{I}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}$.

Lösung

1. $|\underline{Z}|=\sqrt{30^2+40^2}=50\Omega$, $\phi =\arctan \left(\frac{40}{30}\right)\approx 53,13°$ → $\underline{Z}=(50\Omega ;53,13°)$
2. $\underline{I}=\frac{(230;0°)}{(50;53,13°)}=(4,6\text{ A};-53,13°)\approx 2,76-3,68i\text{ A}$
   → Der Strom eilt der Spannung um 53,13° nach.

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Teil B – Vektoren

V1 – Grundlagen

$A(2|-1|3)$, $B(5|3|3)$. Berechne $\overrightarrow{AB}$, $|\overrightarrow{AB}|$, den Einheitsvektor ${\overrightarrow{AB}}_0$ und den Mittelpunkt $M$.

Lösung

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16+0}=5$
${\overrightarrow{AB}}_0=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,6\\ 0,8\\ 0\end{array}\right)$
$M=\frac{A+B}{2}=(3,5|1|3)$

V2 – Normalvektoren

Gib beide Normalvektoren von $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ -7\end{array}\right)$ an.

Lösung

${\vec{n}}_L=\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$, ${\vec{n}}_R=\left(\begin{array}{c}-7\\ -3\end{array}\right)$
Probe: $3\cdot 7+(-7)\cdot 3=0$ ✓

V3 – Winkel zwischen Vektoren

Berechne den Winkel zwischen $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$.

Lösung

$\vec{a}\cdot \vec{b}=4+0+6=10$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=5$
$\cos (\phi )=\frac{10}{3\cdot 5}=0,667$ → $\phi \approx 48,19°$

V4 – Dreieck im Raum

$A(1|0|2)$, $B(4|4|2)$, $C(1|0|7)$.

1. Zeige, dass das Dreieck bei A rechtwinklig ist.
2. Berechne den Winkel bei B.
3. Berechne den Flächeninhalt mit dem Kreuzprodukt.

Lösung

1. $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ → $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ ✓ rechter Winkel
2. Die Vektoren müssen von B weg zeigen: $\overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 5\end{array}\right)$
   $\cos (\beta )=\frac{9+16+0}{5\cdot \sqrt{50}}=\frac{25}{35,36}\approx 0,7071$ → $\beta =45°$
3. $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}4\cdot 5-0\cdot 0\\ 0\cdot 0-3\cdot 5\\ 3\cdot 0-4\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20\\ -15\\ 0\end{array}\right)$, Betrag $=25$
   $A=\frac{1}{2}\cdot 25=12,5{\text{ E}}^2$
   (Kontrolle: $\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5=12,5$ ✓)

V5 – Orthogonalität

Bestimme $t$ so, dass $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ t\\ -1\end{array}\right)$ normal auf $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 2\end{array}\right)$ steht.

Lösung

$\vec{a}\cdot \vec{b}=6+4t-2=0$ → $4t=-4$ → $t=-1$

V6 – Parallelogramm

$A(1|1)$, $B(6|2)$, $C(8|6)$. Bestimme D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist, und berechne den Flächeninhalt.

Lösung

$D=A+\overrightarrow{BC}=(1|1)+\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=(3|5)$
$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$
$A=|5\cdot 4-1\cdot 2|=18{\text{ E}}^2$
(Mit der Buchformel: $\sqrt{26\cdot 20-14^2}=\sqrt{324}=18$ ✓)

V7 – Kreuzprodukt

Berechne $\vec{a}\times \vec{b}$ für $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right)$ und mach die Probe.

Lösung

$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}2\cdot 6-3\cdot 5\\ 3\cdot 4-1\cdot 6\\ 1\cdot 5-2\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -3\end{array}\right)$
Probe: $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{a}=-3+12-9=0$ ✓

V8 – Normalprojektion

Berechne die Länge der Normalprojektion von $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ auf $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$.

Lösung

$b_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}=\frac{6+4}{5}=2$

V9 – Gerade in der Ebene

Gib die Gerade durch $A(2|1)$ und $B(5|5)$ in Parameterform und in Normalvektorform an.

Lösung

Parameterform: $X=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$
Normalvektor: $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)$ → $-4x+3y=-4\cdot 2+3\cdot 1=-5$
→ $g:4x-3y=5$ (Probe mit B: $20-15=5$ ✓)

V10 – Ebene im Raum

Gib die Ebene durch $A(1|0|0)$, $B(0|2|0)$, $C(0|0|3)$ in Normalvektorform an.

Lösung

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}2\cdot 3-0\cdot 0\\ 0\cdot (-1)-(-1)\cdot 3\\ (-1)\cdot 0-2\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$
A einsetzen: $6\cdot 1+0+0=6$ → $\epsilon :6x+3y+2z=6$
(Probe B: $6$ ✓, C: $6$ ✓)

V11 – Volumen

$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, $\vec{c}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ spannen ein Parallelepiped auf. Berechne sein Volumen und das Volumen des zugehörigen Tetraeders.

Lösung

$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 6\end{array}\right)$, $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=24$
$V_{\text{Parallelepiped}}=24{\text{ E}}^3$, $V_{\text{Tetraeder}}=\frac{24}{6}=4{\text{ E}}^3$

V12 – Drehmoment (wie Buch 8.127)

Im Punkt $P(2\text{ m}|3\text{ m}|0\text{ m})$ wirkt die Kraft $\vec{F}=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ N. Berechne das Drehmoment bezüglich des Ursprungs.

Lösung

$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}=\left(\begin{array}{c}3\cdot 5-0\cdot 3\\ 0\cdot 10-2\cdot 5\\ 2\cdot 3-3\cdot 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}15\\ -10\\ -24\end{array}\right)$ Nm
$|\vec{M}|=\sqrt{225+100+576}=\sqrt{901}\approx 30,02$ Nm

V13 – Anwendung: Stütze 🏗️ (wie Bücherregal 8.59)

Eine Stütze führt vom Bodenpunkt $P(3|4|0)$ zum Punkt $Q(0|0|12)$ auf einem Mast (Angaben in m). Der Boden ist die xy-Ebene.

1. Berechne die Länge der Stütze.
2. Berechne den Winkel, den die Stütze mit dem Boden einschließt.
3. Berechne den Winkel zwischen der Stütze und dem Mast (z-Achse).

Lösung

1. $\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 12\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{9+16+144}=13$ m
2. Normalvektor des Bodens: $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
   $\sin (\alpha )=\frac{|12|}{13\cdot 1}$ → $\alpha \approx 67,38°$
3. Richtung der z-Achse: $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ → $\cos (\gamma )=\frac{12}{13}$ → $\gamma \approx 22,62°$
   Kontrolle: $67,38°+22,62°=90°$ ✓ (der Mast steht normal auf dem Boden)

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Auswertung

• Teil A: ___ / 11
• Teil B: ___ / 13

Bei Fehlern im Lernzettel unter Zusammenfassung_Test_15.10 nachschauen.