Zusammenfassung_Test_15.10

Mathe-Test 15.10.2026 – Zusammenfassung

Stoff: Komplexe Zahlen, Vektoren

📘 Abgeglichen mit dem Schulbuch HPT – Mathematik mit technischen Anwendungen 2: Kapitel 7 Komplexe Zahlen (Zusammenfassung S. 211) und Kapitel 8 Vektoren (Zusammenfassung S. 238). Punkte mit ➕ stehen nicht in der Buch-Zusammenfassung, sind aber nützliches Zusatzwissen.

Siehe auch: grundlagen_der_vektorrechnung · Übungsaufgaben_vektorrechnung

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Teil A – Komplexe Zahlen

1. Imaginäre Einheit

$$i^2=-1i=\sqrt{-1}$$

Wie im Buch wird überall i verwendet. In der Elektrotechnik schreibt man oft j, das bedeutet dasselbe.

➕ Potenzen von i (wiederholen sich alle 4):

$i^1$	$i^2$	$i^3$	$i^4$
$i$	$-1$	$-i$	$1$

Trick: Exponent durch 4 dividieren, nur der Rest zählt. Beispiel: $i^{23}$ → $23:4=5$ Rest $3$ → $i^{23}=i^3=-i$

$$\frac{1}{i}=-i$$

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2. Darstellungsformen

Komponentenform

$$z=a+bi$$

• $a=\text{Re}(z)$ … Realteil
• $b=\text{Im}(z)$ … Imaginärteil (ohne das i!)

Polarform

$$z=(r;\phi )\text{bzw. als Versor:}z=r\angle \phi (\text{„r Versor φ“})$$

• $r=|z|$ … Betrag (Länge des Zeigers)
• $\phi =\arg (z)$ … Argument (Polarwinkel), gemessen von der positiven reellen Achse
• Hauptwert: $0°\le \phi <360°$. Weil $(5;70°)=(5;430°)$ gilt, gibt man immer den Hauptwert an.

Trigonometrische Form

$$z=r\cdot (\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi ))$$

Exponentialform

$$z=r\cdot e^{i\phi }(\phi \text{ hier im Bogenmaß!})$$

Euler’sche Formel:
$$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi )$$

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3. Umrechnungen

Polar → Komponentenform

$$a=r\cdot \cos (\phi )b=r\cdot \sin (\phi )$$

Komponenten → Polarform

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$\tan (\phi )=\frac{b}{a}$$

⚠️ Quadrant beachten! Der Taschenrechner liefert bei $\arctan$ nur Winkel zwischen −90° und 90°. Immer zuerst skizzieren, in welchem Quadranten $z$ liegt.

Quadrant	Vorzeichen	Winkel
I	$a>0,b>0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
II	$a<0,b>0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+180°$
III	$a<0,b<0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+180°$
IV	$a>0,b<0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+360°$

Sonderfälle: $i=(1;90°)$, $-1=(1;180°)$, $-i=(1;270°)$

Grad ↔ Bogenmaß:
$${\phi }_{\text{rad}}={\phi }_{°}\cdot \frac{\pi }{180°}{\phi }_{°}={\phi }_{\text{rad}}\cdot \frac{180°}{\pi }$$

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4. Konjugiert komplexe Zahl

$$z=a+bi\Rightarrow z^{\ast }=a-bi$$

In Polarform: $z^{\ast }=(r;-\phi )$ (Spiegelung an der reellen Achse)

Das Buch schreibt $z^{\ast }$. Die Schreibweise $\bar{z}$ ist laut Buch „nicht normgerecht“.

$$z\cdot z^{\ast }=a^2+b^2=|z{|}^{2}z+z^{\ast }=2az-z^{\ast }=2bi$$

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5. Rechenoperationen

Addition & Subtraktion → nur in Komponentenform!

$$(a_1+b_{1}i)\pm (a_2+b_{2}i)=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)i$$

Multiplikation

Komponentenform (ausmultiplizieren, $i^2=-1$):
$$(a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$$

Polarform (viel einfacher):
$$(r_1;{\phi }_1)\cdot (r_2;{\phi }_2)=(r_1\cdot r_2;{\phi }_1+{\phi }_2)$$ → Beträge multiplizieren, Winkel addieren

Division

Komponentenform – mit dem Konjugierten des Nenners erweitern:
$$\frac{a_1+b_{1}i}{a_2+b_{2}i}=\frac{(a_1+b_{1}i)(a_2-b_{2}i)}{(a_2+b_{2}i)(a_2-b_{2}i)}=\frac{(a_1+b_{1}i)(a_2-b_{2}i)}{a_2^2+b_2^2}$$

Polarform:
$$\frac{(r_1;{\phi }_1)}{(r_2;{\phi }_2)}=\left(\frac{r_1}{r_2};{\phi }_1-{\phi }_2\right)$$ → Beträge dividieren, Winkel subtrahieren

Potenzieren (Satz von Moivre)

$$z^n=(r;\phi {)}^n=(r^n;n\cdot \phi )$$

Wurzelziehen

Die Gleichung $z^n=(r;\phi )$ hat genau n Lösungen:
$$z_k=\left(\sqrt[n]{r};\frac{\phi +k\cdot 360°}{n}\right)k=0,1,\dots ,n-1$$

→ Die Lösungen liegen auf einem Kreis mit Radius $\sqrt[n]{r}$ und bilden ein regelmäßiges n-Eck (Abstand $\frac{360°}{n}$).

Welche Form wofür?

Operation	Beste Form
$+$ / $-$	Komponentenform
$\cdot$ / $:$	Polarform (oder Komponenten mit Konjugiertem)
Potenz / Wurzel	Polarform

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6. Gauß’sche Zahlenebene

• Waagrechte Achse: reelle Achse (Re)
• Senkrechte Achse: imaginäre Achse (Im)
• $z=a+bi$ ist der Punkt $(a|b)$ bzw. ein Zeiger vom Ursprung dorthin
• Addition = Zeiger aneinanderhängen (wie bei Vektoren)
• Multiplikation mit $i$ = Drehung um +90°
• Multiplikation mit $(r;\phi )$ = Drehstreckung (um $\phi$ drehen, mit $r$ strecken)

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7. Quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante

$$x^2+px+q=0\Rightarrow x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$$

Ist die Diskriminante $D<0$, dann gilt $\sqrt{D}=i\sqrt{|D|}$ und die Lösungen sind konjugiert komplex.

Beispiel: $x^2+4x+13=0$
$$x_{1,2}=-2\pm \sqrt{4-13}=-2\pm \sqrt{-9}=-2\pm 3i$$

Große Lösungsformel:
$$a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

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8. Gleichheit komplexer Zahlen

$$a_1+b_{1}i=a_2+b_{2}i⟺a_1=a_2\text{und}{b}_1=b_2$$

→ Realteile gleichsetzen und Imaginärteile gleichsetzen ergibt 2 Gleichungen.

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9. Musterbeispiel komplett

$z_1=3+4i$, $z_2=1-i$

• $z_1+z_2=4+3i$
• $z_1\cdot z_2=3-3i+4i-4i^2=3+i+4=7+i$
• $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(3+4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+3i+4i+4i^2}{1+1}=\frac{-1+7i}{2}=-0,5+3,5i$
• $|z_1|=\sqrt{9+16}=5$, ${\phi }_1=\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\approx 53,13°$ → $z_1=(5;53,13°)$
• $|z_2|=\sqrt{2}$, ${\phi }_2=\arctan (-1)+360°=315°$ (IV. Quadrant) → $z_2=(\sqrt{2};315°)$

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Teil B – Vektoren

1. Grundlagen

Vektor zwischen zwei Punkten („Spitze minus Schaft“):
$$\overrightarrow{AB}=B-A=\left(\begin{array}{c}{b}_x-a_x\\ b_y-a_y\\ b_z-a_z\end{array}\right)$$

Punkt verschieben: $B=A+\overrightarrow{AB}$

Betrag (Länge):
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$

Abstand zweier Punkte: $d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|$

Einheitsvektor (Länge 1):
$${\vec{a}}_0=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

Vektor mit vorgegebener Länge L in Richtung $\vec{a}$:
$$\vec{v}=L\cdot {\vec{a}}_0=L\cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

Mittelpunkt einer Strecke:
$$M_{AB}=\frac{A+B}{2}$$

Schwerpunkt eines Dreiecks:
$$S=\frac{A+B+C}{3}$$

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2. Rechenregeln

$$\vec{a}\pm \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\pm b_x\\ a_y\pm b_y\\ a_z\pm b_z\end{array}\right)r\cdot \vec{a}=\left(\begin{array}{c}r{a}_x\\ r{a}_y\\ r{a}_z\end{array}\right)$$

Parallel (kollinear): $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}=r\cdot \vec{b}$

Parallelogramm ABCD: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
→ fehlender Punkt: $D=A+\overrightarrow{BC}$ bzw. $C=B+\overrightarrow{AD}$
→ Diagonalen halbieren sich

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3. Skalarprodukt

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z(\text{Ergebnis ist eine Zahl!})$$

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\phi )$$

Winkel zwischen zwei Vektoren

$$\cos (\phi )=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

• $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$ → spitzer Winkel
• $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ → rechter Winkel
• $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ → stumpfer Winkel

⚠️ Winkel im Dreieck bei A: beide Vektoren müssen von A weg zeigen: $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ (nicht $\overrightarrow{BA}$!).

Orthogonalität (normal / senkrecht)

$$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

→ Typische Aufgabe: Unbekannte Koordinate so bestimmen, dass zwei Strecken normal stehen → Skalarprodukt $=0$ setzen und nach der Unbekannten auflösen (siehe Bücherregal 8.59/3).

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4. Normalvektor in ℝ²

$$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)\Rightarrow {\vec{n}}_{\text{links}}=\left(\begin{array}{c}-a_y\\ a_x\end{array}\right){\vec{n}}_{\text{rechts}}=\left(\begin{array}{c}{a}_y\\ -a_x\end{array}\right)$$

→ Koordinaten vertauschen und bei einer davon das Vorzeichen ändern.

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5. Vektorprodukt (Kreuzprodukt) – nur in ℝ³

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_y{b}_z-a_z{b}_y\\ a_z{b}_x-a_x{b}_z\\ a_x{b}_y-a_y{b}_x\end{array}\right)$$

Merkhilfe: Beide Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen, dann „über Kreuz“ rechnen.

a_x   b_x     ← streichen
a_y   b_y     → 1. Komponente: a_y·b_z − a_z·b_y
a_z   b_z     → 2. Komponente: a_z·b_x − a_x·b_z
a_x   b_x     → 3. Komponente: a_x·b_y − a_y·b_x
a_y   b_y
a_z   b_z     ← streichen

Eigenschaften:

• $\vec{a}\times \vec{b}$ steht normal auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$
• $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$
• $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$
• Kontrolle: $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{a}=0$

Flächenberechnung

$$A_{\text{Parallelogramm}}=|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin (\phi )A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$$

In ℝ² (ohne Kreuzprodukt):
$$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot |a_x{b}_y-a_y{b}_x|$$

Formel aus dem Buch, nur mit Skalarprodukt (gilt in ℝ² und ℝ³):
$$A_{\text{Parallelogramm}}=\sqrt{|\vec{a}{|}^2\cdot |\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$$

Volumenberechnung (Spatprodukt)

$$V_{\text{Parallelepiped}}=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|V_{\text{Tetraeder}}=\frac{1}{6}\cdot |(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$$ → Erst das Kreuzprodukt, dann das Skalarprodukt mit dem dritten Vektor bilden.

Physikalische Anwendung: Drehmoment

$$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}|\vec{M}|=|\vec{r}|\cdot |\vec{F}|\cdot \sin (\phi )$$

Alternative mit Winkel:
$$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin (\phi )$$

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6. Normalprojektion ➕

Länge der Projektion von $\vec{b}$ auf $\vec{a}$ (vorzeichenbehaftet):
$$b_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$$

Projektionsvektor:
$${\vec{b}}_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}{|}^2}\cdot \vec{a}$$

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7. Winkel mit Ebenen und Achsen ➕

Nicht in der Buch-Zusammenfassung, wird aber in Aufgaben wie 8.59 verlangt.

Winkel eines Vektors mit den Koordinatenachsen

$$\cos (\alpha )=\frac{a_x}{|\vec{a}|}\cos (\beta )=\frac{a_y}{|\vec{a}|}\cos (\gamma )=\frac{a_z}{|\vec{a}|}$$ $${\cos }^2(\alpha )+{\cos }^2(\beta )+{\cos }^2(\gamma )=1$$

Winkel zwischen Vektor (Gerade) und Ebene

$$\sin (\alpha )=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{n}|}$$ mit $\vec{n}$ = Normalvektor der Ebene.

Sinus statt Cosinus, weil der Cosinus den Winkel zum Normalvektor liefert. Es gilt $\alpha =90°-{\phi }_{\text{zu }\vec{n}}$.

Normalvektoren der Koordinatenebenen:

Ebene	Normalvektor
xy-Ebene (Boden, $z=0$)	$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
xz-Ebene ($y=0$)	$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
yz-Ebene ($x=0$)	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Winkel zwischen zwei Ebenen

$$\cos (\phi )=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}$$

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8. Geraden und Ebenen

Parameterform (ℝ² und ℝ³)

$$g:X=P+t\cdot \vec{a}t\in \mathbb{R}$$

• $P$ … Punkt auf der Geraden, $\vec{a}$ … Richtungsvektor
• Gerade durch A und B: $X=A+t\cdot \overrightarrow{AB}$
• Punktprobe: Punkt einsetzen; ergibt sich in jeder Zeile dasselbe $t$, liegt er auf der Geraden

Normalvektorform – nur in ℝ²

$$g:\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P\text{bzw.}g:ax+by=c$$

• $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ ist ein Normalvektor des Richtungsvektors (Koordinaten tauschen, ein Vorzeichen ändern)
• $c$ erhält man, indem man den Punkt P einsetzt
• Umrechnen: $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$ → $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\end{array}\right)$ → $-5x+3y=\vec{n}\cdot P$

Im ℝ³ gibt es keine Normalvektorform einer Geraden, weil auf eine Gerade im Raum unendlich viele Richtungen normal stehen. Im Raum beschreibt $ax+by+cz=d$ eine Ebene.

Ebenengleichungen (ℝ³)

Parameterform:
$$\epsilon :X=P+s\cdot \vec{a}+t\cdot \vec{b}$$ Normalvektorform:
$$\epsilon :\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P\text{bzw.}\epsilon :ax+by+cz=d$$

• Ebene durch A, B, C: $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$
• $d$ erhält man, indem man A einsetzt

Lagebeziehung zweier Geraden

In ℝ²: Richtungsvektoren parallel → parallel oder identisch, sonst schneidend (gleichsetzen → Schnittpunkt)

In ℝ³ ➕:

1. Richtungsvektoren parallel? → ja: identisch oder parallel (Punktprobe entscheidet)
2. nein: gleichsetzen → Lösung vorhanden: schneidend, sonst windschief

Schnittwinkel zweier Geraden:
$$\cos (\phi )=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

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9. Musterbeispiel: Bücherregal (8.59)

$E(0|120|180)$, $F(0|320|180)$, $G(40|120|180)$, $I(0|120|255)$, Wand = yz-Ebene

1. $H=G+\overrightarrow{EF}=(40|320|180)$, $J=F+\overrightarrow{EI}=(0|320|255)$
2. $\overrightarrow{GI}=\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 75\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{GI}|=\sqrt{1600+5625}=85$ cm
   $\sin (\alpha )=\frac{|-40|}{85}$ → $\alpha \approx 28,07°$
3. $K(0|120|z)$: $\overrightarrow{GK}\cdot \overrightarrow{GI}=1600+75(z-180)=0$ → $z\approx 158,67$

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✅ Checkliste vor dem Test

• Taschenrechner auf DEG (außer bei $e^{i\phi }$ → RAD)
• Bei $\arctan$ den Quadranten prüfen
• Addition komplexer Zahlen nur in Komponentenform
• Division in Komponentenform: mit Konjugiertem erweitern
• $\overrightarrow{AB}$ = B − A (Ende minus Anfang)
• Normal ⇔ Skalarprodukt $=0$
• Winkel im Dreieck: Vektoren zeigen vom Eckpunkt weg
• Winkel Gerade–Ebene → sin, Winkel Gerade–Gerade → cos
• Fläche Dreieck = $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$
• $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$ (Kreuzprodukt ist nicht kommutativ)
• Einheiten im Ergebnis angeben (cm, °, cm²)

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📝 Lernzettel – alle Formeln kompakt

Komplexe Zahlen

Was	Formel
Imaginäre Einheit	$i^2=-1$
Formen	$z=a+bi=(r;\phi )=r(\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi ))=r\cdot e^{i\phi }$
Betrag	$r=\sqrt{a^2+b^2}$
Winkel	$\tan (\phi )=\frac{b}{a}$ (Quadrant prüfen: II/III $+180°$, IV $+360°$)
Polar → Komponenten	$a=r\cos (\phi )b=r\sin (\phi )$
Euler	$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi )$
Konjugiert	$z^{\ast }=a-biz\cdot z^{\ast }=a^2+b^2$
$\pm$	$(a+c)\pm (b+d)i$ → Real- und Imaginärteile getrennt
$\cdot$	$(r_1;{\phi }_1)\cdot (r_2;{\phi }_2)=(r_1{r}_2;{\phi }_1+{\phi }_2)$
$:$	$\frac{(r_1;{\phi }_1)}{(r_2;{\phi }_2)}=\left(\frac{r_1}{r_2};{\phi }_1-{\phi }_2\right)$ · Komponentenform: mit $z_2^{\ast }$ erweitern
Potenz (Moivre)	$(r;\phi {)}^n=(r^n;n\phi )$
n-te Wurzeln	$z_k=\left(\sqrt[n]{r};\frac{\phi +k\cdot 360°}{n}\right),k=0\dots n-1$
Quadr. Gleichung	$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$, bei $D<0$: $\sqrt{D}=i\sqrt{|D|}$

Vektoren

Was	Formel
Vektor AB	$\overrightarrow{AB}=B-A$
Betrag	$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
Einheitsvektor	${\vec{a}}_0=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
Mittelpunkt / Schwerpunkt	$M=\frac{A+B}{2}S=\frac{A+B+C}{3}$
Normalvektor (ℝ²)	$\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}-a_y\\ a_x\end{array}\right)$ (links), $\left(\begin{array}{c}{a}_y\\ -a_x\end{array}\right)$ (rechts)
Skalarprodukt	$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\phi )$
Winkel	$\cos (\phi )=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$
Normal	$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$
Projektion	$b_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$
Kreuzprodukt	$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_y{b}_z-a_z{b}_y\\ a_z{b}_x-a_x{b}_z\\ a_x{b}_y-a_y{b}_x\end{array}\right)$, $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin (\phi )$
Parallelogramm	$A=|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$, in ℝ²: $|a_x{b}_y-a_y{b}_x|$
Dreieck	$A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$
Volumen	Parallelepiped $V=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$ · Tetraeder $V=\frac{1}{6}|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$
Winkel Gerade–Ebene	$\sin (\alpha )=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{n}|}$
Gerade	$X=P+t\vec{a}$ · ℝ²: $\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P$ bzw. $ax+by=c$
Ebene	$X=P+s\vec{a}+t\vec{b}$ · $\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P$ bzw. $ax+by+cz=d$, mit $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}$

Merken: Rechner auf DEG · B − A · normal ⇔ Skalarprodukt 0 · Gerade–Ebene → sin · $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$

Mathe-Test 15.10.2026 – Zusammenfassung

Stoff: Komplexe Zahlen, Vektoren

📘 Abgeglichen mit dem Schulbuch HPT – Mathematik mit technischen Anwendungen 2: Kapitel 7 Komplexe Zahlen (Zusammenfassung S. 211) und Kapitel 8 Vektoren (Zusammenfassung S. 238). Punkte mit ➕ stehen nicht in der Buch-Zusammenfassung, sind aber nützliches Zusatzwissen.

Siehe auch: grundlagen_der_vektorrechnung · Übungsaufgaben_vektorrechnung

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Teil A – Komplexe Zahlen

1. Imaginäre Einheit

$$i^2=-1i=\sqrt{-1}$$

Wie im Buch wird überall i verwendet. In der Elektrotechnik schreibt man oft j, das bedeutet dasselbe.

➕ Potenzen von i (wiederholen sich alle 4):

$i^1$	$i^2$	$i^3$	$i^4$
$i$	$-1$	$-i$	$1$

Trick: Exponent durch 4 dividieren, nur der Rest zählt. Beispiel: $i^{23}$ → $23:4=5$ Rest $3$ → $i^{23}=i^3=-i$

$$\frac{1}{i}=-i$$

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2. Darstellungsformen

Komponentenform

$$z=a+bi$$

• $a=\text{Re}(z)$ … Realteil
• $b=\text{Im}(z)$ … Imaginärteil (ohne das i!)

Polarform

$$z=(r;\phi )\text{bzw. als Versor:}z=r\angle \phi (\text{„r Versor φ“})$$

• $r=|z|$ … Betrag (Länge des Zeigers)
• $\phi =\arg (z)$ … Argument (Polarwinkel), gemessen von der positiven reellen Achse
• Hauptwert: $0°\le \phi <360°$. Weil $(5;70°)=(5;430°)$ gilt, gibt man immer den Hauptwert an.

Trigonometrische Form

$$z=r\cdot (\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi ))$$

Exponentialform

$$z=r\cdot e^{i\phi }(\phi \text{ hier im Bogenmaß!})$$

Euler’sche Formel:
$$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi )$$

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3. Umrechnungen

Polar → Komponentenform

$$a=r\cdot \cos (\phi )b=r\cdot \sin (\phi )$$

Komponenten → Polarform

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$ $$\tan (\phi )=\frac{b}{a}$$

⚠️ Quadrant beachten! Der Taschenrechner liefert bei $\arctan$ nur Winkel zwischen −90° und 90°. Immer zuerst skizzieren, in welchem Quadranten $z$ liegt.

Quadrant	Vorzeichen	Winkel
I	$a>0,b>0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
II	$a<0,b>0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+180°$
III	$a<0,b<0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+180°$
IV	$a>0,b<0$	$\phi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)+360°$

Sonderfälle: $i=(1;90°)$, $-1=(1;180°)$, $-i=(1;270°)$

Grad ↔ Bogenmaß:
$${\phi }_{\text{rad}}={\phi }_{°}\cdot \frac{\pi }{180°}{\phi }_{°}={\phi }_{\text{rad}}\cdot \frac{180°}{\pi }$$

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4. Konjugiert komplexe Zahl

$$z=a+bi\Rightarrow z^{\ast }=a-bi$$

In Polarform: $z^{\ast }=(r;-\phi )$ (Spiegelung an der reellen Achse)

Das Buch schreibt $z^{\ast }$. Die Schreibweise $\bar{z}$ ist laut Buch „nicht normgerecht“.

$$z\cdot z^{\ast }=a^2+b^2=|z{|}^{2}z+z^{\ast }=2az-z^{\ast }=2bi$$

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5. Rechenoperationen

Addition & Subtraktion → nur in Komponentenform!

$$(a_1+b_{1}i)\pm (a_2+b_{2}i)=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)i$$

Multiplikation

Komponentenform (ausmultiplizieren, $i^2=-1$):
$$(a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$$

Polarform (viel einfacher):
$$(r_1;{\phi }_1)\cdot (r_2;{\phi }_2)=(r_1\cdot r_2;{\phi }_1+{\phi }_2)$$ → Beträge multiplizieren, Winkel addieren

Division

Komponentenform – mit dem Konjugierten des Nenners erweitern:
$$\frac{a_1+b_{1}i}{a_2+b_{2}i}=\frac{(a_1+b_{1}i)(a_2-b_{2}i)}{(a_2+b_{2}i)(a_2-b_{2}i)}=\frac{(a_1+b_{1}i)(a_2-b_{2}i)}{a_2^2+b_2^2}$$

Polarform:
$$\frac{(r_1;{\phi }_1)}{(r_2;{\phi }_2)}=\left(\frac{r_1}{r_2};{\phi }_1-{\phi }_2\right)$$ → Beträge dividieren, Winkel subtrahieren

Potenzieren (Satz von Moivre)

$$z^n=(r;\phi {)}^n=(r^n;n\cdot \phi )$$

Wurzelziehen

Die Gleichung $z^n=(r;\phi )$ hat genau n Lösungen:
$$z_k=\left(\sqrt[n]{r};\frac{\phi +k\cdot 360°}{n}\right)k=0,1,\dots ,n-1$$

→ Die Lösungen liegen auf einem Kreis mit Radius $\sqrt[n]{r}$ und bilden ein regelmäßiges n-Eck (Abstand $\frac{360°}{n}$).

Welche Form wofür?

Operation	Beste Form
$+$ / $-$	Komponentenform
$\cdot$ / $:$	Polarform (oder Komponenten mit Konjugiertem)
Potenz / Wurzel	Polarform

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6. Gauß’sche Zahlenebene

• Waagrechte Achse: reelle Achse (Re)
• Senkrechte Achse: imaginäre Achse (Im)
• $z=a+bi$ ist der Punkt $(a|b)$ bzw. ein Zeiger vom Ursprung dorthin
• Addition = Zeiger aneinanderhängen (wie bei Vektoren)
• Multiplikation mit $i$ = Drehung um +90°
• Multiplikation mit $(r;\phi )$ = Drehstreckung (um $\phi$ drehen, mit $r$ strecken)

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7. Quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante

$$x^2+px+q=0\Rightarrow x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$$

Ist die Diskriminante $D<0$, dann gilt $\sqrt{D}=i\sqrt{|D|}$ und die Lösungen sind konjugiert komplex.

Beispiel: $x^2+4x+13=0$
$$x_{1,2}=-2\pm \sqrt{4-13}=-2\pm \sqrt{-9}=-2\pm 3i$$

Große Lösungsformel:
$$a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

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8. Gleichheit komplexer Zahlen

$$a_1+b_{1}i=a_2+b_{2}i⟺a_1=a_2\text{und}{b}_1=b_2$$

→ Realteile gleichsetzen und Imaginärteile gleichsetzen ergibt 2 Gleichungen.

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9. Musterbeispiel komplett

$z_1=3+4i$, $z_2=1-i$

• $z_1+z_2=4+3i$
• $z_1\cdot z_2=3-3i+4i-4i^2=3+i+4=7+i$
• $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(3+4i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+3i+4i+4i^2}{1+1}=\frac{-1+7i}{2}=-0,5+3,5i$
• $|z_1|=\sqrt{9+16}=5$, ${\phi }_1=\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\approx 53,13°$ → $z_1=(5;53,13°)$
• $|z_2|=\sqrt{2}$, ${\phi }_2=\arctan (-1)+360°=315°$ (IV. Quadrant) → $z_2=(\sqrt{2};315°)$

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Teil B – Vektoren

1. Grundlagen

Vektor zwischen zwei Punkten („Spitze minus Schaft“):
$$\overrightarrow{AB}=B-A=\left(\begin{array}{c}{b}_x-a_x\\ b_y-a_y\\ b_z-a_z\end{array}\right)$$

Punkt verschieben: $B=A+\overrightarrow{AB}$

Betrag (Länge):
$$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$

Abstand zweier Punkte: $d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|$

Einheitsvektor (Länge 1):
$${\vec{a}}_0=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

Vektor mit vorgegebener Länge L in Richtung $\vec{a}$:
$$\vec{v}=L\cdot {\vec{a}}_0=L\cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

Mittelpunkt einer Strecke:
$$M_{AB}=\frac{A+B}{2}$$

Schwerpunkt eines Dreiecks:
$$S=\frac{A+B+C}{3}$$

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2. Rechenregeln

$$\vec{a}\pm \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\pm b_x\\ a_y\pm b_y\\ a_z\pm b_z\end{array}\right)r\cdot \vec{a}=\left(\begin{array}{c}r{a}_x\\ r{a}_y\\ r{a}_z\end{array}\right)$$

Parallel (kollinear): $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}=r\cdot \vec{b}$

Parallelogramm ABCD: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
→ fehlender Punkt: $D=A+\overrightarrow{BC}$ bzw. $C=B+\overrightarrow{AD}$
→ Diagonalen halbieren sich

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3. Skalarprodukt

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z(\text{Ergebnis ist eine Zahl!})$$

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\phi )$$

Winkel zwischen zwei Vektoren

$$\cos (\phi )=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

• $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$ → spitzer Winkel
• $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ → rechter Winkel
• $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ → stumpfer Winkel

⚠️ Winkel im Dreieck bei A: beide Vektoren müssen von A weg zeigen: $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ (nicht $\overrightarrow{BA}$!).

Orthogonalität (normal / senkrecht)

$$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

→ Typische Aufgabe: Unbekannte Koordinate so bestimmen, dass zwei Strecken normal stehen → Skalarprodukt $=0$ setzen und nach der Unbekannten auflösen (siehe Bücherregal 8.59/3).

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4. Normalvektor in ℝ²

$$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)\Rightarrow {\vec{n}}_{\text{links}}=\left(\begin{array}{c}-a_y\\ a_x\end{array}\right){\vec{n}}_{\text{rechts}}=\left(\begin{array}{c}{a}_y\\ -a_x\end{array}\right)$$

→ Koordinaten vertauschen und bei einer davon das Vorzeichen ändern.

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5. Vektorprodukt (Kreuzprodukt) – nur in ℝ³

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_y{b}_z-a_z{b}_y\\ a_z{b}_x-a_x{b}_z\\ a_x{b}_y-a_y{b}_x\end{array}\right)$$

Merkhilfe: Beide Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen, dann „über Kreuz“ rechnen.

a_x   b_x     ← streichen
a_y   b_y     → 1. Komponente: a_y·b_z − a_z·b_y
a_z   b_z     → 2. Komponente: a_z·b_x − a_x·b_z
a_x   b_x     → 3. Komponente: a_x·b_y − a_y·b_x
a_y   b_y
a_z   b_z     ← streichen

Eigenschaften:

• $\vec{a}\times \vec{b}$ steht normal auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$
• $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$
• $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$
• Kontrolle: $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{a}=0$

Flächenberechnung

$$A_{\text{Parallelogramm}}=|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin (\phi )A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$$

In ℝ² (ohne Kreuzprodukt):
$$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot |a_x{b}_y-a_y{b}_x|$$

Formel aus dem Buch, nur mit Skalarprodukt (gilt in ℝ² und ℝ³):
$$A_{\text{Parallelogramm}}=\sqrt{|\vec{a}{|}^2\cdot |\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$$

Volumenberechnung (Spatprodukt)

$$V_{\text{Parallelepiped}}=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|V_{\text{Tetraeder}}=\frac{1}{6}\cdot |(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$$ → Erst das Kreuzprodukt, dann das Skalarprodukt mit dem dritten Vektor bilden.

Physikalische Anwendung: Drehmoment

$$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}|\vec{M}|=|\vec{r}|\cdot |\vec{F}|\cdot \sin (\phi )$$

Alternative mit Winkel:
$$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin (\phi )$$

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6. Normalprojektion ➕

Länge der Projektion von $\vec{b}$ auf $\vec{a}$ (vorzeichenbehaftet):
$$b_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$$

Projektionsvektor:
$${\vec{b}}_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}{|}^2}\cdot \vec{a}$$

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7. Winkel mit Ebenen und Achsen ➕

Nicht in der Buch-Zusammenfassung, wird aber in Aufgaben wie 8.59 verlangt.

Winkel eines Vektors mit den Koordinatenachsen

$$\cos (\alpha )=\frac{a_x}{|\vec{a}|}\cos (\beta )=\frac{a_y}{|\vec{a}|}\cos (\gamma )=\frac{a_z}{|\vec{a}|}$$ $${\cos }^2(\alpha )+{\cos }^2(\beta )+{\cos }^2(\gamma )=1$$

Winkel zwischen Vektor (Gerade) und Ebene

$$\sin (\alpha )=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{n}|}$$ mit $\vec{n}$ = Normalvektor der Ebene.

Sinus statt Cosinus, weil der Cosinus den Winkel zum Normalvektor liefert. Es gilt $\alpha =90°-{\phi }_{\text{zu }\vec{n}}$.

Normalvektoren der Koordinatenebenen:

Ebene	Normalvektor
xy-Ebene (Boden, $z=0$)	$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
xz-Ebene ($y=0$)	$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
yz-Ebene ($x=0$)	$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Winkel zwischen zwei Ebenen

$$\cos (\phi )=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}$$

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8. Geraden und Ebenen

Parameterform (ℝ² und ℝ³)

$$g:X=P+t\cdot \vec{a}t\in \mathbb{R}$$

• $P$ … Punkt auf der Geraden, $\vec{a}$ … Richtungsvektor
• Gerade durch A und B: $X=A+t\cdot \overrightarrow{AB}$
• Punktprobe: Punkt einsetzen; ergibt sich in jeder Zeile dasselbe $t$, liegt er auf der Geraden

Normalvektorform – nur in ℝ²

$$g:\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P\text{bzw.}g:ax+by=c$$

• $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ ist ein Normalvektor des Richtungsvektors (Koordinaten tauschen, ein Vorzeichen ändern)
• $c$ erhält man, indem man den Punkt P einsetzt
• Umrechnen: $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$ → $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\end{array}\right)$ → $-5x+3y=\vec{n}\cdot P$

Im ℝ³ gibt es keine Normalvektorform einer Geraden, weil auf eine Gerade im Raum unendlich viele Richtungen normal stehen. Im Raum beschreibt $ax+by+cz=d$ eine Ebene.

Ebenengleichungen (ℝ³)

Parameterform:
$$\epsilon :X=P+s\cdot \vec{a}+t\cdot \vec{b}$$ Normalvektorform:
$$\epsilon :\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P\text{bzw.}\epsilon :ax+by+cz=d$$

• Ebene durch A, B, C: $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$
• $d$ erhält man, indem man A einsetzt

Lagebeziehung zweier Geraden

In ℝ²: Richtungsvektoren parallel → parallel oder identisch, sonst schneidend (gleichsetzen → Schnittpunkt)

In ℝ³ ➕:

1. Richtungsvektoren parallel? → ja: identisch oder parallel (Punktprobe entscheidet)
2. nein: gleichsetzen → Lösung vorhanden: schneidend, sonst windschief

Schnittwinkel zweier Geraden:
$$\cos (\phi )=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

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9. Musterbeispiel: Bücherregal (8.59)

$E(0|120|180)$, $F(0|320|180)$, $G(40|120|180)$, $I(0|120|255)$, Wand = yz-Ebene

1. $H=G+\overrightarrow{EF}=(40|320|180)$, $J=F+\overrightarrow{EI}=(0|320|255)$
2. $\overrightarrow{GI}=\left(\begin{array}{c}-40\\ 0\\ 75\end{array}\right)$, $|\overrightarrow{GI}|=\sqrt{1600+5625}=85$ cm
   $\sin (\alpha )=\frac{|-40|}{85}$ → $\alpha \approx 28,07°$
3. $K(0|120|z)$: $\overrightarrow{GK}\cdot \overrightarrow{GI}=1600+75(z-180)=0$ → $z\approx 158,67$

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✅ Checkliste vor dem Test

• Taschenrechner auf DEG (außer bei $e^{i\phi }$ → RAD)
• Bei $\arctan$ den Quadranten prüfen
• Addition komplexer Zahlen nur in Komponentenform
• Division in Komponentenform: mit Konjugiertem erweitern
• $\overrightarrow{AB}$ = B − A (Ende minus Anfang)
• Normal ⇔ Skalarprodukt $=0$
• Winkel im Dreieck: Vektoren zeigen vom Eckpunkt weg
• Winkel Gerade–Ebene → sin, Winkel Gerade–Gerade → cos
• Fläche Dreieck = $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$
• $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$ (Kreuzprodukt ist nicht kommutativ)
• Einheiten im Ergebnis angeben (cm, °, cm²)

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📝 Lernzettel – alle Formeln kompakt

Komplexe Zahlen

Was	Formel
Imaginäre Einheit	$i^2=-1$
Formen	$z=a+bi=(r;\phi )=r(\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi ))=r\cdot e^{i\phi }$
Betrag	$r=\sqrt{a^2+b^2}$
Winkel	$\tan (\phi )=\frac{b}{a}$ (Quadrant prüfen: II/III $+180°$, IV $+360°$)
Polar → Komponenten	$a=r\cos (\phi )b=r\sin (\phi )$
Euler	$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\cdot \sin (\phi )$
Konjugiert	$z^{\ast }=a-biz\cdot z^{\ast }=a^2+b^2$
$\pm$	$(a+c)\pm (b+d)i$ → Real- und Imaginärteile getrennt
$\cdot$	$(r_1;{\phi }_1)\cdot (r_2;{\phi }_2)=(r_1{r}_2;{\phi }_1+{\phi }_2)$
$:$	$\frac{(r_1;{\phi }_1)}{(r_2;{\phi }_2)}=\left(\frac{r_1}{r_2};{\phi }_1-{\phi }_2\right)$ · Komponentenform: mit $z_2^{\ast }$ erweitern
Potenz (Moivre)	$(r;\phi {)}^n=(r^n;n\phi )$
n-te Wurzeln	$z_k=\left(\sqrt[n]{r};\frac{\phi +k\cdot 360°}{n}\right),k=0\dots n-1$
Quadr. Gleichung	$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$, bei $D<0$: $\sqrt{D}=i\sqrt{|D|}$

Vektoren

Was	Formel
Vektor AB	$\overrightarrow{AB}=B-A$
Betrag	$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
Einheitsvektor	${\vec{a}}_0=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
Mittelpunkt / Schwerpunkt	$M=\frac{A+B}{2}S=\frac{A+B+C}{3}$
Normalvektor (ℝ²)	$\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}-a_y\\ a_x\end{array}\right)$ (links), $\left(\begin{array}{c}{a}_y\\ -a_x\end{array}\right)$ (rechts)
Skalarprodukt	$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\phi )$
Winkel	$\cos (\phi )=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$
Normal	$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$
Projektion	$b_a=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$
Kreuzprodukt	$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_y{b}_z-a_z{b}_y\\ a_z{b}_x-a_x{b}_z\\ a_x{b}_y-a_y{b}_x\end{array}\right)$, $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin (\phi )$
Parallelogramm	$A=|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$, in ℝ²: $|a_x{b}_y-a_y{b}_x|$
Dreieck	$A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$
Volumen	Parallelepiped $V=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$ · Tetraeder $V=\frac{1}{6}|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$
Winkel Gerade–Ebene	$\sin (\alpha )=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{n}|}$
Gerade	$X=P+t\vec{a}$ · ℝ²: $\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P$ bzw. $ax+by=c$
Ebene	$X=P+s\vec{a}+t\vec{b}$ · $\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P$ bzw. $ax+by+cz=d$, mit $\vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}$

Merken: Rechner auf DEG · B − A · normal ⇔ Skalarprodukt 0 · Gerade–Ebene → sin · $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$