Übungsaufgaben_vektorrechnung

Übungsaufgaben zur Vektorrechnung

Mit diesen Aufgaben kannst du das grundlegende Wissen zur Vektorrechnung vertiefen. Alle Aufgaben enthalten ausführliche Schritt-für-Schritt-Lösungen.

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Aufgabe 1: Verbindungsvektor und Betrag (Länge)

Gegeben sind die zwei Punkte im Raum:

$$A(1|-2|3)\text{und}B(4|2|3)$$

Aufgabenstellung:

1. Berechne den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$.
2. Berechne die Länge (den Betrag) des Vektors $\overrightarrow{AB}$.

Lösung zu Aufgabe 1

1. Verbindungsvektor berechnen

Wir nutzen die Formel „Spitze minus Anfang“ ($\vec{B}-\vec{A}$):

$$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-1\\ 2-(-2)\\ 3-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$$

2. Länge (Betrag) berechnen

Mithilfe der Formel für den Betrag:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5$$

Antwort: Der Verbindungsvektor lautet $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ und seine Länge beträgt $5$ Längeneinheiten.

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Aufgabe 2: Vektoroperationen

Gegeben sind die Vektoren:

$$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right),\vec{b}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

Aufgabenstellung:
Berechne das Ergebnis des Ausdrucks: $3\vec{a}-2\vec{b}$

Lösung zu Aufgabe 2

Schritt 1: Skalare Multiplikation ausführen

$$3\vec{a}=3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 12\end{array}\right)$$ $$2\vec{b}=2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 2\end{array}\right)$$

Schritt 2: Vektoren subtrahieren

$$3\vec{a}-2\vec{b}=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-6\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-(-6)\\ -3-0\\ 12-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ -3\\ 10\end{array}\right)$$

Antwort: Das Ergebnis lautet $\left(\begin{array}{c}12\\ -3\\ 10\end{array}\right)$.

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Aufgabe 3: Skalarprodukt und Orthogonalität

Prüfe für die folgenden zwei Vektorpaare, ob sie senkrecht (orthogonal) aufeinander stehen:

1. $\vec{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ und $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right)$
2. $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ und $\vec{y}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

Erinnerung: Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich $0$ ist ($\vec{a}\cdot \vec{b}=0$).

Lösung zu Aufgabe 3

Vektorpaar 1:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right)=(3\cdot 2)+(-2\cdot 4)+(1\cdot 2)=6-8+2=0$$

Ergebnis: Da das Skalarprodukt $0$ ist, stehen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal aufeinander ($\vec{u}\perp \vec{v}$).

Vektorpaar 2:

$$\vec{x}\cdot \vec{y}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)=(1\cdot 2)+(5\cdot (-1))+(-2\cdot 1)=2-5-2=-5$$

Ergebnis: Da das Skalarprodukt $-5\ne 0$ ist, stehen $\vec{x}$ und $\vec{y}$ nicht orthogonal aufeinander.

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Aufgabe 4: Schnittwinkel berechnen

Gegeben sind die Vektoren:

$$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\text{und}\vec{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

Aufgabenstellung:
Berechne den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

Lösung zu Aufgabe 4

Wir nutzen die Winkelformel:

$$\cos (\alpha )=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=(1\cdot 0)+(1\cdot 1)+(0\cdot 1)=0+1+0=1$$

Schritt 2: Beträge (Längen) berechnen

$$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$$ $$|\vec{b}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

Schritt 3: Werte einsetzen und Winkel berechnen

$$\cos (\alpha )=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}=0,5$$

Mithilfe der Umkehrfunktion $\arccos (0,5)$:

$$\alpha =\arccos (0,5)=60^{\circ }$$

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Vektoren beträgt $60^{\circ }$.