Grundlagen der Vektorrechnung

Eine Einführung in die wichtigsten Konzepte der Vektoren in der Mathematik.

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1. Was ist ein Vektor?

In der Mathematik unterscheidet man zwischen Skalaren und Vektoren:

• Skalar: Ein gewöhnlicher Zahlenwert, der nur eine Größe beschreibt (z. B. Temperatur $T=20^{\circ }\text{C}$ oder Masse $m=5\text{ kg}$).
• Vektor: Ein Objekt, das sowohl eine Größe (Länge) als auch eine Richtung besitzt (z. B. Geschwindigkeit oder Kraft).

Geometrisch wird ein Vektor meist als Pfeil in einem Koordinatensystem dargestellt.

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2. Darstellungsform

Ein Vektor im zweidimensionalen (${\mathbb{R}}^2$) oder dreidimensionalen Raum (${\mathbb{R}}^3$) wird meist als Spaltenvektor geschrieben:

$$\vec{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)\text{bzw.}\vec{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)$$

• Die Eintragszahlen ($a_x,a_y,a_z$) geben an, wie weit man sich entlang der jeweiligen Koordinatenachse bewegen muss.

Vektor zwischen zwei Punkten

Hat man zwei Punkte $A(x_1|y_1|z_1)$ und $B(x_2|y_2|z_2)$, berechnet man den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ (“Spitze minus Anfang”):

$$\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}=\left(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\\ z_2-z_1\end{array}\right)$$

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3. Länge (Betrag) eines Vektors

Die Länge eines Vektors $\vec{a}$, auch als Betrag $|\vec{a}|$ bezeichnet, wird mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet:

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$

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4. Grundlegende Rechenoperationen

A) Vektoraddition

Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert (geometrisch: Aneinanderhängen von Pfeilen):

$$\vec{a}+\vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x+b_x\\ a_y+b_y\\ a_z+b_z\end{array}\right)$$

B) Vektorsubtraktion

Die Subtraktion erfolgt ebenfalls komponentenweise:

$$\vec{a}-\vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_x-b_x\\ a_y-b_y\\ a_z-b_z\end{array}\right)$$

C) Sklare Multiplikation (Streckung/Stauchung)

Ein Vektor wird mit einer Zahl $r\in \mathbb{R}$ multipliziert, indem jede Komponente mit $r$ multipliziert wird:

$$r\cdot \vec{a}=r\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cdot a_x\\ r\cdot a_y\\ r\cdot a_z\end{array}\right)$$

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5. Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt keinen Vektor, sondern eine Zahl (Skalar).

Komponentenweise Berechnung:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z$$

Geometrische Bedeutung / Winkelberechnung:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\alpha )$$

Daraus lässt sich der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren berechnen:

$$\cos (\alpha )=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$$

Wichtige Eigenschaft (Orthogonalität):
Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht (orthogonal) aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:
$$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

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6. Zusammenfassung wichtiger Begriffe

• Nullvektor $\vec{0}$: Ein Vektor, dessen Komponenten alle $0$ sind. Er hat die Länge $0$.
• Einheitsvektor ${\vec{e}}_a$: Ein Vektor mit der Länge $1$ in Richtung von $\vec{a}$ (${\vec{e}}_a=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$).
• Gegenvektor $-\vec{a}$: Ein Vektor mit derselben Länge, aber genau entgegengesetzter Richtung.
• Kollinearität: Zwei Vektoren sind kollinear (parallel), wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist ($\vec{a}=r\cdot \vec{b}$).