Formeln

Zeitkonstante:

$$\tau =R\cdot C$$

Aufladen des Kondensators:

$$u_C(t)=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

Entladen eines Kondensators:

$$u_C(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Strom beim Aufladen:

$$i(t)=\frac{U_0}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

Beispielaufgabe:

Aufgabe 1: Kondensator mit Umschalter

Gegeben

$$U_0=12\mathrm{V},R_1=10\mathrm{k\Omega },R_2=5\mathrm{k\Omega },C=100\mu \mathrm{F}$$

Was passiert mit dem Kondensator?

• Position 1: Der Kondensator wird über $R_1$ von der Batterie aufgeladen (Richtung 12 V).
• Position 2: Die Batterie ist getrennt, der Kondensator entlädt sich über $R_2$.

Zeitkonstanten

$$\tau =R\cdot C$$

Position 1:

$${\tau }_1=R_1\cdot C=10\mathrm{k\Omega }\cdot 100\mu \mathrm{F}=1\mathrm{s}$$

Position 2:

$${\tau }_2=R_2\cdot C=5\mathrm{k\Omega }\cdot 100\mu \mathrm{F}=0,5\mathrm{s}$$

Anfangsspannung

Der Kondensator ist vollständig aufgeladen:

$$u_C(0)=U_0=12\mathrm{V}$$

Schalter 1 s auf Position 2 (Entladen)

$$u_C(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{{\tau }_2}}$$ $$u_C(1\mathrm{s})=12\mathrm{V}\cdot e^{-\frac{1\mathrm{s}}{0,5\mathrm{s}}}=12\mathrm{V}\cdot e^{-2}\approx 1,62\mathrm{V}$$

Danach 1 s auf Position 1 (Aufladen)

Startwert: $U_1=1,62\mathrm{V}$, Ziel: $U_0=12\mathrm{V}$

$$u_C(t)=U_0-(U_0-U_1)\cdot e^{-\frac{t}{{\tau }_1}}$$ $$u_C(1\mathrm{s})=12\mathrm{V}-(12\mathrm{V}-1,62\mathrm{V})\cdot e^{-1}\approx 12\mathrm{V}-3,82\mathrm{V}\approx 8,18\mathrm{V}$$

Ergebnis

Zeitpunkt	Schalter	Spannung am Kondensator
$t=0$		$12\mathrm{V}$
$t=1\mathrm{s}$	Pos. 2 (Entladen)	$\approx 1,62\mathrm{V}$
$t=2\mathrm{s}$	Pos. 1 (Aufladen)	$\approx 8,18\mathrm{V}$

Zeitlicher Verlauf

Wertetabelle zum Zeichnen (Zeit in s):

Spannung am Kondensator

$t$	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
$u_C$ in V	12	7,28	4,42	2,68	1,62	3,92	5,71	7,10	8,18

%%{init: {"themeVariables": {"xyChart": {"plotColorPalette": "#4f8cff"}}}}%%
xychart-beta
    title "Spannung am Kondensator"
    x-axis "t in s" [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2]
    y-axis "u_C in V" 0 --> 12
    line [12, 7.28, 4.42, 2.68, 1.62, 3.92, 5.71, 7.10, 8.18]

Verlauf: von 0 bis 1 s fällt die Kurve exponentiell von 12 V auf 1,62 V ab. Bei $t=1\mathrm{s}$ knickt sie ab und steigt bis 8,18 V an.

Strom am Kondensator

%%{init: {"themeVariables": {"xyChart": {"plotColorPalette": "#2ecc71"}}}}%%
xychart-beta
    title "Strom am Kondensator"
    x-axis "t in s" [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2]
    y-axis "i_C in mA" -2.5 --> 1.5
    line [-2.4, -1.46, -0.88, -0.54, -0.33, 0.81, 0.63, 0.49, 0.38]

Strom am Widerstand

Strom am Widerstand

Position 2: Entladen über $R_2$

Anfangsstrom:

$$i_{R2}(0)=-\frac{U_0}{R_2}=-\frac{12\mathrm{V}}{5\mathrm{k\Omega }}=-2,4\mathrm{mA}$$

Verlauf:

$$i_{R2}(t)=-\frac{U_0}{R_2}\cdot e^{-\frac{t}{{\tau }_2}}=-2,4\mathrm{mA}\cdot e^{-\frac{t}{0,5\mathrm{s}}}$$

Nach 1 s:

$$i_{R2}(1\mathrm{s})=-2,4\mathrm{mA}\cdot e^{-2}\approx -0,325\mathrm{mA}$$

Kontrolle mit $u_C$:

$$i=-\frac{u_C}{R_2}=-\frac{1,62\mathrm{V}}{5\mathrm{k\Omega }}\approx -0,325\mathrm{mA}$$

Position 1: Aufladen über $R_1$

Anfangsstrom beim Umschalten (Kondensator bei $1,62\mathrm{V}$):

$$i_{R1}(0)=\frac{U_0-U_1}{R_1}=\frac{12\mathrm{V}-1,62\mathrm{V}}{10\mathrm{k\Omega }}\approx 1,04\mathrm{mA}$$

Verlauf (mit $t^{\prime }=t-1\mathrm{s}$):

$$i_{R1}(t^{\prime })=1,04\mathrm{mA}\cdot e^{-\frac{t^{\prime }}{{\tau }_1}}=1,04\mathrm{mA}\cdot e^{-\frac{t^{\prime }}{1\mathrm{s}}}$$

Nach 1 s (also bei $t=2\mathrm{s}$):

$$i_{R1}(2\mathrm{s})=1,04\mathrm{mA}\cdot e^{-1}\approx 0,38\mathrm{mA}$$

Ergebnis

Zeitpunkt	Schalter	Widerstand	Strom
$t=0$	Pos. 2	$R_2$	$-2,40\mathrm{mA}$
$t=1\mathrm{s}$ (vor Umschalten)	Pos. 2	$R_2$	$-0,325\mathrm{mA}$
$t=1\mathrm{s}$ (nach Umschalten)	Pos. 1	$R_1$	$+1,04\mathrm{mA}$
$t=2\mathrm{s}$	Pos. 1	$R_1$	$+0,38\mathrm{mA}$

Beim Umschalten springt der Strom, weil sich Widerstand und Richtung ändern. Die Spannung am Kondensator springt dagegen nicht.

Zeitlicher Verlauf

$t$ in s	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
$i$ in mA	-2,40	-1,46	-0,88	-0,54	-0,33	0,81	0,63	0,49	0,38

%%{init: {"themeVariables": {"xyChart": {"plotColorPalette": "#ff9f43"}}}}%%
xychart-beta
    title "Strom am Widerstand"
    x-axis "t in s" [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2]
    y-axis "i in mA" -2.5 --> 1.5
    line [-2.4, -1.46, -0.88, -0.54, -0.33, 0.81, 0.63, 0.49, 0.38]