Telekommunikation Test 20.10.2026

Stoff laut Register: Laden und Entladen des Kondensators · Ein-/Ausschaltvorgang bei Spulen · Wechselstrom

Quellen: Classroom TK 4AT (Übungen Kondensator, Übung Umschalter, Ein-/Ausschaltvorgang Spule, Laborübung Wechselstrom), Formeln (Kondensator), Mitschrift 09.10 (Signalformen), Laborübungen „Ein- und Ausschalten einer Spule“ und „Wechselspannung mit PicoScope“, Videos zur Selbstinduktion.

So lernst du damit

1. Teil 1–3 durchlesen und die Formelkästen auswendig können
2. Teil 4 (typische Fehler) genau anschauen
3. Teil 5 und 5b selbst rechnen, erst dann die Lösung aufklappen
4. Am Schluss den Spickzettel (Teil 6) ohne Hilfe nachschreiben

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Teil 1 – Laden und Entladen des Kondensators

1.1 Grundlagen

• Ein Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld zwischen zwei Platten.
• Kapazität $C$ in Farad (F): $C=\frac{Q}{U}$ → je größer $C$, desto mehr Ladung bei gleicher Spannung
• Die Spannung am Kondensator kann nicht springen – sie ändert sich immer stetig (exponentiell).
• Der Strom kann springen (beim Schalten sofort maximal).
• Gespeicherte Energie: $W=\frac{1}{2}C{U}^2$

1.2 Zeitkonstante

$$\tau =R\cdot C[\tau ]=\Omega \cdot \mathrm{F}=\mathrm{s}$$

Zeit	Laden: $u_C$ in % von $U_0$	Entladen: $u_C$ in % von $U_0$
$1\tau$	63 %	37 %
$2\tau$	86 %	14 %
$3\tau$	95 %	5 %
$5\tau$	99,3 % → „voll“	0,7 % → „leer“

Merke

Nach 1 τ → 63 %, nach 5 τ → praktisch fertig. Großes $R$ oder großes $C$ → langsamer.

1.3 Formeln Laden

$$u_C(t)=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)i(t)=\frac{U_0}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}{u}_R(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

• Im Einschaltmoment: $u_C=0$, der Kondensator wirkt wie ein Kurzschluss, $i_{max}=U_0/R$
• Am Ende: $u_C=U_0$, $i=0$, der Kondensator wirkt wie eine Unterbrechung

1.4 Formeln Entladen

$$u_C(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}i(t)=-\frac{U_0}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

• Der Strom fließt beim Entladen in entgegengesetzter Richtung (negatives Vorzeichen).

1.5 Laden mit Anfangsspannung (Umschalter-Aufgaben)

Startet der Kondensator nicht bei 0 V, sondern bei $U_1$:

$$u_C(t)=U_0-(U_0-U_1)\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}i(t)=\frac{U_0-U_1}{R}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

1.6 Zeit berechnen (nach t umstellen)

$$\text{Laden: }t=-\tau \cdot \ln \left(1-\frac{u_C}{U_0}\right)\text{Entladen: }t=\tau \cdot \ln \left(\frac{U_0}{u_C}\right)$$

Beispiel aus dem Unterricht (siehe Formeln)

$U_0=12\mathrm{V}$, $R_1=10\mathrm{k\Omega }$ (Laden), $R_2=5\mathrm{k\Omega }$ (Entladen), $C=100\mu \mathrm{F}$ → ${\tau }_1=1\mathrm{s}$, ${\tau }_2=0,5\mathrm{s}$

• 1 s Entladen: $12\mathrm{V}\cdot e^{-2}=1,62\mathrm{V}$
• danach 1 s Laden: $12-(12-1,62)\cdot e^{-1}=8,18\mathrm{V}$
• Strom springt beim Umschalten von $-0,325\mathrm{mA}$ auf $+1,04\mathrm{mA}$, die Spannung springt nicht.

1.7 Schaltungen von Kondensatoren (Übungsblatt Classroom, Kap. 5.4)

	Parallelschaltung	Reihenschaltung
Spannung	$U=U_1=U_2=\dots$	$U=U_1+U_2+\dots$
Ladung	$Q=Q_1+Q_2+\dots$	$Q=Q_1=Q_2=\dots$
Ersatzkapazität	$C=C_1+C_2+\dots$	$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\dots$
Bei 2 Kondensatoren		$C=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}$

• Teilspannungen in Reihe: $U_x=\frac{Q}{C_x}$ → am kleinsten Kondensator liegt die größte Spannung
• Achtung: genau umgekehrt wie bei Widerständen!

Beispiel (Buch)

$C_1=36\mu \mathrm{F}$, $C_2=12\mu \mathrm{F}$, $U=10\mathrm{V}$
Parallel: $C=48\mu \mathrm{F}$ · Reihe: $C=\frac{36\cdot 12}{48}=9\mu \mathrm{F}$, $Q=9\mu \mathrm{F}\cdot 10\mathrm{V}=90\mu \mathrm{C}$
$U_1=90\mu \mathrm{C}/36\mu \mathrm{F}=2,5\mathrm{V}$, $U_2=90\mu \mathrm{C}/12\mu \mathrm{F}=7,5\mathrm{V}$

1.8 Begriffe aus dem Buch

• Ladezeit / Entladezeit $t_c=5\cdot \tau$
• Anfangsstrom $I_0=U_0/R$ (Laden) bzw. $I_0=U_C/R$ (Entladen, $U_C$ = Spannung bei Entladebeginn)
• Taschenrechner: $e^{-2,3}$ → 2.3 +/- e^x = 0,1003

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Teil 2 – Ein- und Ausschaltvorgang bei Spulen

2.1 Selbstinduktion

• Strom durch die Spule → Magnetfeld. Ändert sich der Strom, ändert sich der magnetische Fluss $\Phi$.
• Eine Flussänderung induziert eine Spannung in der Spule selbst → Selbstinduktion.
• Lenzsche Regel: Die induzierte Spannung wirkt ihrer Ursache entgegen → die Spule wehrt sich gegen jede Stromänderung.
• Der Strom durch eine Spule kann nicht springen, die Spannung an der Spule schon.
• Energie im Magnetfeld: $W=\frac{1}{2}L{I}^2$

2.2 Induktivität

$$u_{ind}=-L\cdot \frac{\Delta i}{\Delta t}L={\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot \frac{N^2\cdot A}{l}[L]=\mathrm{H}=\frac{\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}}{\mathrm{A}}$$

• ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}Vs/Am$, ${\mu }_r$ = Permeabilitätszahl (Eisenkern → groß)
• $N$ geht quadratisch ein! Mehr Windungen, größere Fläche, kürzere Spule, Eisenkern → größeres $L$

2.3 Zeitkonstante der Spule

$$\tau =\frac{L}{R}$$

Achtung: τ = L / R, nicht R / L

Beim Kondensator macht ein größeres R den Vorgang langsamer, bei der Spule schneller.

2.4 Einschalten

$$i(t)=\frac{U_0}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)u_L(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}{u}_R(t)=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)$$

• Im Einschaltmoment: $i=0$, die ganze Spannung liegt an der Spule ($u_L=U_0$), $u_{ind}=-U_0$
• Danach steigt der Strom exponentiell auf $I_0=U_0/R$, $u_L$ fällt auf 0
• Versuch: Lämpchen in Reihe mit Spule leuchtet verzögert auf

2.5 Ausschalten

$$i(t)=I_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}{u}_L(t)=-I_0\cdot R_{ges}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$$

• Der Strom fließt in gleicher Richtung weiter und klingt exponentiell ab – die Spule hält den Strom aufrecht (Energie aus dem Magnetfeld).
• Die Spannung an der Spule kehrt ihre Polarität um.
• Spannungsspitze: Im Ausschaltmoment ist der Strom noch $I_0$, fließt jetzt aber über einen größeren Widerstand $R_{ges}$:

$$U_{ind}=I_0\cdot R_{ges}=U_0\cdot \frac{R_{ges}}{R_L}>U_0$$

• Bei offenem Schalter ist $R_{ges}$ riesig → sehr hohe Spannung → Ausschaltfunke (Abreißfunke)
• Versuche: Glimmlampe (≈ 80–100 V Zündspannung) leuchtet mit 1,5–4-V-Batterie beim Ausschalten auf; es leuchtet die Elektrode, die vorher am Pluspol lag, weil der Spulenstrom die Glimmlampe jetzt in Gegenrichtung durchfließt.

2.6 Schutz und Anwendungen

Freilaufdiode	Diode parallel zur Spule (in Sperrrichtung zur Betriebsspannung). Beim Ausschalten fließt der Strom über die Diode weiter → keine Spannungsspitze → schützt Transistoren
Kondensator parallel zum Schalter	verhindert Funken am Schalterkontakt
Zündspule (Auto)	erzeugt aus 12 V die Hochspannung für die Zündkerze
Optische Maus / LED	Spannungsspitze treibt LED (2,1 V) aus 1,5-V-Batterie
Lautsprecher-Frequenzweiche	Spule sperrt hohe Frequenzen ($X_L=2\pi fL$), Bass kommt durch

2.7 Versuch aus dem Unterricht (Classroom 28. Sept.)

Schaltung: Batterie – Schalter – Spule ($R_L=45\Omega$, $L=50\mathrm{mH}$), parallel dazu $1\mathrm{k\Omega }$ und ein Voltmeter. Ein „Versuchsschüler“ hält die beiden Drähte an der Spule.

• Einschalten: Voltmeter zeigt sofort die Batteriespannung, der Strom durch die Spule steigt mit $\tau =L/R_L=50\mathrm{mH}/45\Omega =1,1\mathrm{ms}$
• Ausschalten: Der Spulenstrom fließt über den 1-kΩ-Widerstand (bzw. den Schüler) weiter → Spannung kehrt sich um und ist viel größer als die Batteriespannung → der Schüler spürt einen Schlag
• Faktor: $U_{ind}/U_0=(R_L+R)/R_L=1045/45\approx 23$ → z. B. bei 5 V etwa 116 V

2.8 Laborübung: RL-Glied an Rechteckspannung

• $L=68\mathrm{mH}$, $R=10\mathrm{k\Omega }$, Rechteck TTL 5 V, 10 kHz
• $\tau =L/R=68\mathrm{mH}/10\mathrm{k\Omega }=6,8\mu \mathrm{s}$, 5 τ = 34 µs < 50 µs Halbperiode
• $u_L$ springt bei jeder Flanke auf +5 V bzw. −5 V und klingt mit τ ab
• Strom: Maximum $I_0=5\mathrm{V}/10\mathrm{k\Omega }=0,5\mathrm{mA}$, steigt und fällt stetig

2.9 Vergleich Kondensator – Spule

	Kondensator (RC)	Spule (RL)
Zeitkonstante	$\tau =R\cdot C$	$\tau =L/R$
Größeres $R$	langsamer	schneller
Kann nicht springen	Spannung $u_C$	Strom $i_L$
Springt beim Schalten	Strom	Spannung
Energie	$\frac{1}{2}C{U}^2$ (elektrisches Feld)	$\frac{1}{2}L{I}^2$ (Magnetfeld)
Dauerzustand bei Gleichspannung	Unterbrechung ($i=0$)	Kurzschluss/Draht ($u_L=0$)
Im Einschaltmoment	wie Kurzschluss	wie Unterbrechung

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Teil 3 – Wechselstrom

3.1 Kenngrößen

Größe	Zeichen	Formel
Amplitude / Scheitelwert	$\hat{u}$, $U_s$	Mitte bis Maximum
Spitze-Spitze	$U_{pp}$	$U_{pp}=2\hat{u}$
Periodendauer	$T$	$T=1/f$
Frequenz	$f$	$f=1/T$, Einheit Hz
Kreisfrequenz	$\omega$	$\omega =2\pi f$, Einheit s⁻¹
Effektivwert (Sinus)	$U_{eff}$, $U_{RMS}$	$U_{eff}=\hat{u}/\sqrt{2}\approx 0,707\hat{u}$
Offset / Gleichanteil	$U_0$	Mittelwert

Aus der Theorie-Notiz

Amplitude = Mitte bis Maximum: 3 V Amplitude → 6 V Spitze-Spitze (+3 V und −3 V)

3.2 Sinusgleichung

$$u(t)=U_s\cdot \sin (\omega t+\phi )+U_0=U_s\cdot \sin (2\pi ft+\phi )+U_0$$

• $\phi$ = Phasenwinkel (positiv → Kurve nach links verschoben)
• Zeitverschiebung: $u(t)=U_s\sin (2\pi f(t-t_0))+U_0$ mit $t_0=-\phi /\omega$
• Taschenrechner auf RAD, wenn $\omega t$ in rad!

Symbol	Bedeutung
$u(t)$	Momentanwert
$U_s$	Scheitelwert / Amplitude
$U_0$	Offsetspannung
$\phi$	Phasenwinkel
$t_0$	Zeitverschiebung

3.3 Strom und Spannung am Widerstand

• Am ohmschen Widerstand sind $u$ und $i$ in Phase ($\phi =0$)
• $i(t)=\frac{u(t)}{R}=\frac{U_s}{R}\sin (\omega t)=I_s\sin (\omega t)$

Beispiel aus dem Unterricht

$u(t)=2\mathrm{V}\cdot \sin (1000{\mathrm{s}}^{-1}\cdot t)$, $R=300\Omega$
→ $\omega =1000{\mathrm{s}}^{-1}$, $f=\omega /2\pi =159\mathrm{Hz}$, $T=6,28\mathrm{ms}$
→ $I_s=2\mathrm{V}/300\Omega =6,67\mathrm{mA}$, $i(t)=6,67\mathrm{mA}\cdot \sin (1000{\mathrm{s}}^{-1}\cdot t)$
Darstellung: ein Koordinatensystem mit zwei y-Achsen (links $u$ in V, rechts $i$ in mA)

3.4 Effektivwert und Offset

• Effektivwert = Gleichspannung, die an $R$ dieselbe Leistung (Wärme) erzeugt.
• Mit Offset (True RMS): Gleich- und Wechselanteil werden quadratisch addiert:

$$U_{TrueRMS}=\sqrt{U_0^2+U_{AC,RMS}^2}$$

Durch den Offset …	ändert sich	bleibt gleich
Mittelwert, Max, Min, True RMS	✔
$T$, $f$, $U_{pp}$, AC RMS		✔

• True RMS = gesamtes Signal (für Leistung!), AC RMS = nur Wechselanteil

3.5 Effektivwerte anderer Signalformen

Signal	Effektivwert (ohne Offset)
Sinus	$\hat{u}/\sqrt{2}$
Dreieck / Sägezahn	$\hat{u}/\sqrt{3}$
Rechteck symmetrisch (±û)	$\hat{u}$
PWM 0 V / $U_H$, Tastgrad $D$	Mittelwert $D\cdot U_H$, Effektivwert $U_H\sqrt{D}$

Signalformen aus der Mitschrift: siehe Teil 8 am Ende.

• Tastgrad (Duty Cycle): $D=t_{high}/T$ → z. B. 20 % bei 2 kHz: $t_1=0,2\cdot 0,5\mathrm{ms}=0,1\mathrm{ms}$

3.6 Leistung

$$p(t)=u(t)\cdot i(t)=\frac{u^2}{R}P=\frac{{\hat{u}}^2}{2R}=\frac{U_{eff}^2}{R}=U_{eff}\cdot I_{eff}$$

• $p(t)$ ist am Widerstand immer ≥ 0 und schwingt mit doppelter Frequenz
• Mittlere Leistung = halbe Spitzenleistung: $P=p_{max}/2$
• Mit Offset: $P=\frac{U_0^2}{R}+\frac{U_{AC,RMS}^2}{R}$ (Leistungen addieren sich)

3.7 Innenwiderstand und Belastung

$${\hat{u}}_R={\hat{u}}_0\cdot \frac{R}{R_i+R}{R}_i=R\cdot \left(\frac{{\hat{u}}_0}{{\hat{u}}_R}-1\right)$$

• Je kleiner der Lastwiderstand, desto mehr Spannung fällt am Innenwiderstand ab → Spannung „bricht ein“
• Labor: externer Generator $R_i\approx 50\Omega$, PicoScope-Generator $R_i\approx 600\Omega$

3.8 Oszilloskop (PicoScope)

• misst nur Spannung; Strom über Math-Kanal $i=u_R/R$ (z. B. A/100)
• DC-Kopplung, sonst wird der Offset herausgefiltert
• Messungen: Cycle time ($T$), Frequency, Peak to peak, Mean, RMS (True RMS), RMS ripple (AC RMS), Min, Max

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Teil 4 – Typische Fehler

• τ der Spule ist $L/R$, nicht $R/L$
• Beim Entladen ist der Strom negativ
• Bei Umschalter-Aufgaben den neuen Startwert $U_1$ verwenden und die richtige τ (anderer Widerstand!)
• Einheiten: µF = 10⁻⁶ F, mH = 10⁻³ H, kΩ = 10³ Ω, ms ↔ s
• Amplitude ≠ Spitze-Spitze ($U_{pp}=2\hat{u}$)
• Effektivwerte mit Offset nicht einfach addieren, sondern quadratisch
• Sinus im Taschenrechner: RAD statt DEG
• $f$ aus $\omega$: $f=\omega /2\pi$ (nicht $\omega$ selbst!)
• Beim Ausschalten der Spule: Strom gleiche Richtung, Spannung dreht um

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Teil 5 – Übungsaufgaben

Aufgabe 1 – Kondensator laden

$U_0=10\mathrm{V}$, $R=4,7\mathrm{k\Omega }$, $C=220\mu \mathrm{F}$, Kondensator anfangs leer.
a) Zeitkonstante? b) $i(0)$? c) $u_C$ nach 1 s? d) Wann ist der Kondensator zu 90 % geladen? e) Wann „voll“?

Lösung

a) $\tau =4700\Omega \cdot 220\cdot 10^{-6}\mathrm{F}=1,034\mathrm{s}$
b) $i(0)=10\mathrm{V}/4,7\mathrm{k\Omega }=2,13\mathrm{mA}$
c) $u_C(1\mathrm{s})=10\mathrm{V}\cdot (1-e^{-1/1,034})=6,20\mathrm{V}$
d) $t=-\tau \ln (1-0,9)=\tau \ln 10=2,38\mathrm{s}$
e) $5\tau =5,17\mathrm{s}$

Aufgabe 2 – Kondensator entladen

$C=47\mu \mathrm{F}$ ist auf 24 V geladen und entlädt sich über $R=10\mathrm{k\Omega }$.
a) $u_C$ nach 1 s? b) Nach welcher Zeit sind nur noch 5 V übrig?

Lösung

$\tau =10\mathrm{k\Omega }\cdot 47\mu \mathrm{F}=0,47\mathrm{s}$
a) $u_C=24\mathrm{V}\cdot e^{-1/0,47}=2,86\mathrm{V}$
b) $t=\tau \ln (24/5)=0,47\mathrm{s}\cdot 1,569=0,74\mathrm{s}$

Aufgabe 3 – Spule einschalten

$U_0=12\mathrm{V}$, $L=0,5\mathrm{H}$, $R=100\Omega$ (gesamt).
a) τ? b) Endstrom? c) $i$ nach 5 ms und 10 ms? d) $u_L$ im Einschaltmoment und nach 10 ms?

Lösung

a) $\tau =L/R=0,5\mathrm{H}/100\Omega =5\mathrm{ms}$
b) $I_0=12\mathrm{V}/100\Omega =120\mathrm{mA}$
c) $i(5\mathrm{ms})=120\mathrm{mA}\cdot (1-e^{-1})=75,9\mathrm{mA}$; $i(10\mathrm{ms})=120\cdot (1-e^{-2})=103,8\mathrm{mA}$
d) $u_L(0)=12\mathrm{V}$; $u_L(10\mathrm{ms})=12\mathrm{V}\cdot e^{-2}=1,62\mathrm{V}$

Aufgabe 4 – Spule ausschalten (Spannungsspitze)

Eine Spule ($L=1\mathrm{H}$, Drahtwiderstand $R_L=50\Omega$) liegt an 10 V. Parallel zur Spule ist ein Lämpchen mit $R=1\mathrm{k\Omega }$. Der Schalter wird geöffnet.
a) Strom durch die Spule vor dem Öffnen? b) Induzierte Spannung im Ausschaltmoment? c) Zeitkonstante nach dem Öffnen?

Lösung

a) $I_0=10\mathrm{V}/50\Omega =0,2\mathrm{A}$
b) $U_{ind}=I_0\cdot (R_L+R)=0,2\mathrm{A}\cdot 1050\Omega =210\mathrm{V}$ → 21-mal die Betriebsspannung!
c) $\tau =L/(R_L+R)=1\mathrm{H}/1050\Omega =0,95\mathrm{ms}$

Aufgabe 5 – Induktivität

Luftspule: $N=500$, $A=4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, $l=10\mathrm{cm}$. Berechne $L$. Was passiert mit $L$ bei doppelter Windungszahl?

Lösung

$L=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot \frac{500^2\cdot 4\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2}{0,1\mathrm{m}}=1,26\mathrm{mH}$
Doppelte Windungszahl → vierfache Induktivität (N²): 5,03 mH

Aufgabe 6 – Netzspannung

$u(t)=325\mathrm{V}\cdot \sin (314{\mathrm{s}}^{-1}\cdot t)$. Bestimme $\hat{u}$, $f$, $T$, $U_{eff}$ und $u(4\mathrm{ms})$.

Lösung

$\hat{u}=325\mathrm{V}$, $f=314/2\pi =50\mathrm{Hz}$, $T=20\mathrm{ms}$, $U_{eff}=325/\sqrt{2}=230\mathrm{V}$
$u(4\mathrm{ms})=325\mathrm{V}\cdot \sin (314\cdot 0,004)=325\cdot \sin (1,256\mathrm{rad})=309\mathrm{V}$

Aufgabe 7 – Gleichung aufstellen mit Phase

Sinus mit $\hat{u}=5\mathrm{V}$, $f=1\mathrm{kHz}$, Phasenwinkel $\phi =30°$, kein Offset.
a) Gleichung? b) $u(0)$? c) Zeitverschiebung $t_0$?

Lösung

a) $u(t)=5\mathrm{V}\cdot \sin (2\pi \cdot 1000\mathrm{Hz}\cdot t+\frac{\pi }{6})$ (30° = π/6)
b) $u(0)=5\mathrm{V}\cdot \sin (30°)=2,5\mathrm{V}$
c) $t_0=-\phi /\omega =-(\pi /6)/(2\pi \cdot 1000)=-0,083\mathrm{ms}$ → Kurve um 0,083 ms nach links verschoben

Aufgabe 8 – Offset

Sinus $\hat{u}=3\mathrm{V}$ mit Offset $U_0=2\mathrm{V}$. Bestimme $U_{max}$, $U_{min}$, $U_{pp}$, AC RMS und True RMS.

Lösung

$U_{max}=5\mathrm{V}$, $U_{min}=-1\mathrm{V}$, $U_{pp}=6\mathrm{V}$ (unverändert)
AC RMS $=3/\sqrt{2}=2,12\mathrm{V}$; True RMS $=\sqrt{2^2+2,12^2}=2,92\mathrm{V}$

Aufgabe 9 – Leistung

Ein Sinus mit $\hat{u}=10\mathrm{V}$ liegt an $R=50\Omega$. Berechne $P$, $p_{max}$ und $I_{eff}$.

Lösung

$P={\hat{u}}^2/(2R)=100/100=1\mathrm{W}$; $p_{max}={\hat{u}}^2/R=2\mathrm{W}$; $I_{eff}=7,07\mathrm{V}/50\Omega =141\mathrm{mA}$

Aufgabe 10 – Signalformen

a) PWM-Signal 0 V / 5 V, $f=2\mathrm{kHz}$, Tastgrad 20 %: $T$, $t_{high}$, Mittelwert, Effektivwert?
b) Dreieck $\hat{u}=2\mathrm{V}$, $f=5\mathrm{kHz}$: $T$ und Effektivwert?

Lösung

a) $T=0,5\mathrm{ms}$, $t_{high}=0,1\mathrm{ms}$, Mittelwert $=0,2\cdot 5\mathrm{V}=1\mathrm{V}$, Effektivwert $=5\mathrm{V}\cdot \sqrt{0,2}=2,24\mathrm{V}$
b) $T=0,2\mathrm{ms}$, $U_{eff}=2\mathrm{V}/\sqrt{3}=1,15\mathrm{V}$

Aufgabe 11 – Innenwiderstand

Ein Generator liefert im Leerlauf ${\hat{u}}_0=2\mathrm{V}$. Mit $R=100\Omega$ misst man nur noch ${\hat{u}}_R=1,33\mathrm{V}$. Wie groß ist $R_i$? Wie groß ist der Strom?

Lösung

$R_i=100\Omega \cdot (2/1,33-1)=50\Omega$; $\hat{ı}=2\mathrm{V}/150\Omega =13,3\mathrm{mA}$

Aufgabe 12 – Verständnisfragen

a) Warum leuchtet ein Lämpchen in Reihe mit einer Spule verzögert auf?
b) Warum entsteht beim Öffnen eines Schalters im Spulenkreis ein Funke?
c) Wozu dient eine Freilaufdiode?
d) Was passiert mit dem Kondensatorstrom im Einschaltmoment?

Lösung

a) Der Stromanstieg erzeugt eine Selbstinduktionsspannung, die nach Lenz dem Anstieg entgegenwirkt → Strom steigt exponentiell mit τ = L/R.
b) Der Strom soll schlagartig auf 0 fallen → sehr große Stromänderung → sehr hohe Induktionsspannung, die die Luft am Kontakt durchschlägt.
c) Sie übernimmt beim Ausschalten den Spulenstrom, sodass er weiterfließen kann → keine Spannungsspitze, Transistor/Schalter wird geschützt.
d) Er ist maximal ($U_0/R$), weil $u_C=0$ ist – der Kondensator wirkt wie ein Kurzschluss.

Aufgabe 13 – Spulenversuch aus dem Unterricht

Batterie $U_0=5\mathrm{V}$, Spule $L=50\mathrm{mH}$ mit $R_L=45\Omega$, parallel $R=1\mathrm{k\Omega }$.
a) τ beim Einschalten? b) Strom durch die Spule im Dauerzustand? c) Spannung an der Spule direkt nach dem Ausschalten? d) τ beim Ausschalten?

Lösung

a) ${\tau }_{ein}=L/R_L=50\mathrm{mH}/45\Omega =1,11\mathrm{ms}$ (der 1 kΩ liegt direkt an der Batterie und beeinflusst den Spulenzweig nicht)
b) $I_0=5\mathrm{V}/45\Omega =111\mathrm{mA}$
c) $U_{ind}=I_0\cdot (R_L+R)=0,111\mathrm{A}\cdot 1045\Omega =116\mathrm{V}$ (umgekehrte Polarität)
d) ${\tau }_{aus}=L/(R_L+R)=50\mathrm{mH}/1045\Omega =47,8\mu \mathrm{s}$

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Teil 5b – Aufgaben aus dem Übungsblatt „Übungen Kondensator“ (Classroom)

Die Ergebnisse stimmen mit den handschriftlichen Lösungen auf dem Blatt überein (nachgerechnet).

Kondensatorschaltungen (5.4)

1. $C_1=9,1\mu \mathrm{F}$, $C_2=15\mu \mathrm{F}$, $C_3=4,7\mu \mathrm{F}$ a) parallel b) in Reihe – Ersatzkapazität?
2. 2,7 pF, 6,8 pF und 22 pF a) parallel b) in Reihe?
3. 390 pF soll mit einem zweiten in Reihe 80 pF ergeben. Wie groß ist der zweite?
4. $C_1=3,9\mu \mathrm{F}$, $C_2=7,5\mu \mathrm{F}$ und $C_3$ parallel ergeben 15 µF. $C_3$?
5. Reihenschaltung $C_1=3,9\mathrm{pF}$, $C_2=5,6\mathrm{pF}$, $C_3=12\mathrm{pF}$ an 20 V: $C$, $Q$, Teilspannungen?
6. Reihe 56 µF und 8,2 µF an 24 V: Welche Nennspannung brauchen die Kondensatoren mindestens?
7. Drei parallele Kondensatoren, zusammen 48 µF, Verhältnis 1 : 2 : 3. a) Einzelwerte? b) Ersatzkapazität in Reihe?

Lösungen 5.4

1. a) 28,8 µF b) 2,57 µF
2. a) 31,5 pF b) 1,78 pF
3. $\frac{1}{C_2}=\frac{1}{80}-\frac{1}{390}$ → $C_2\approx 100\mathrm{pF}$
4. $C_3 = 15 - 3{,}9 - 7{,}5 = 3{,}6\

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Teil 7 – Woher kommen die Formeln?

Kondensator

Formel / Thema	Quelle
$\tau =RC$, Laden $u_C=U_0(1-e^{-t/\tau })$, Entladen $u_C=U_0{e}^{-t/\tau }$	Classroom-PDF „Übungen Kondensator“ (Kap. 5.5.1) + Classroom-Videos Gleichstromtechnik #11/#12
Strom $i=\frac{U_0}{R}{e}^{-t/\tau }$, Entladestrom negativ	Classroom-PDF „Übungen Kondensator“ (Kap. 5.5.2)
Umschalter-Aufgabe, Laden ab Startwert	Classroom-Aufgabe „Übung“ (2. Okt.), gerechnet in Formeln
Reihe/parallel, $Q=C\cdot U$	Classroom-PDF „Übungen Kondensator“ (Kap. 5.4)

Spule

Formel / Thema	Quelle
Selbstinduktion, Lenz, verzögertes Einschalten, Ausschaltfunke, Glimmlampe	Classroom-Videos Selbstinduktion (Beitrag 28. Sept.)
Spannungsspitze $U=I_0(R_L+R)$, Freilaufdiode, $L={\mu }_0{\mu }_r\frac{N^{2}A}{l}$	Classroom-Video „Selbstinduktion (mit Versuchen)“ (34 min)
Versuch 45 Ω / 50 mH / 1 kΩ mit „Versuchsschüler“	Classroom-Beitrag „Ein-/Ausschaltvorgang Spule“ (28. Sept.)
$\tau =L/R$, RL-Glied an Rechteckspannung	Classroom-Aufgabe „Ein-/Ausschaltvorgang an einer Spule“ (Laborblatt)

Wechselstrom

Formel / Thema	Quelle
$u(t)=U_s\sin (\omega t+\phi )+U_0$, $\omega =2\pi f$, $t_0=-\phi /\omega$	Unterricht (Mitschrift 09.10)
Rechteck, PWM mit Tastgrad, Dreieck, Sägezahn	Unterricht (Mitschrift 09.10)
$U_{pp}=2\hat{u}$, $U_{eff}=\hat{u}/\sqrt{2}$, True RMS/AC RMS, $P=U_{eff}^2/R$, Innenwiderstand	Classroom-Aufgabe „Wechselstrom“ (Laborübung PicoScope)
$u$ und $i$ an 300 Ω, zwei y-Achsen	Unterricht (Aufgabe 16.10.)

Zusatzwissen (nicht aus den Unterlagen)

• Effektivwert Dreieck $\hat{u}/\sqrt{3}$ und PWM $U_H\sqrt{D}$
• Energie $W=\frac{1}{2}C{U}^2$ und $W=\frac{1}{2}L{I}^2$ (im Video nur erwähnt, ohne Formel)
• $X_L=2\pi fL$ (im Video nur als Frequenzfilter erklärt),\mathrm{\mu F}$

6. $C=1,93\mathrm{pF}$, $Q=38,6\mathrm{pC}$, $U_1=9,9\mathrm{V}$, $U_2=6,9\mathrm{V}$, $U_3=3,2\mathrm{V}$
7. $C=7,15\mu \mathrm{F}$, $Q=172\mu \mathrm{C}$ → $U_1=3,1\mathrm{V}$, $U_2=20,9\mathrm{V}$ → Nennspannung mind. 3 V bzw. 21 V
8. a) 8 µF, 16 µF, 24 µF b) 4,36 µF

Kondensatorspannung und Zeit (5.5.1)

1. 10 µF über 1 MΩ an 110 V: a) τ b) Ladezeit?
2. 4,7 µF entlädt über 1,5 MΩ: a) τ b) Entladezeit?
3. 100 Ω und C in Reihe, nach dem Einschalten fließt 0,1 ms lang Strom. C?
4. Ein 6-µF-Kondensator muss nach VDE in 60 s von 230 V auf ≤ 50 V entladen sein. Entladewiderstand?
5. Entladener Kondensator über R an 1 kV: $u_C$ nach $t=4\tau$?
6. 120 kΩ und 27 nF an 2,8 kV: a) Ladezeit b) $u_C$ nach 10 ms?
7. Schmitt-Trigger: $R_1=22\mathrm{k\Omega }$, $C_1=47\mu \mathrm{F}$, 5 V, schaltet bei 1,7 V. Wann leuchtet die LED?

Lösungen 5.5.1

1. a) $\tau =10\mathrm{s}$ b) $t_c=50\mathrm{s}$
2. a) $\tau =7,05\mathrm{s}$ b) $t_c=35,3\mathrm{s}$
3. $5\tau =0,1\mathrm{ms}$ → $\tau =20\mu \mathrm{s}$ → $C=\tau /R=0,2\mu \mathrm{F}=200\mathrm{nF}$
4. $\tau =60\mathrm{s}/\ln (230/50)=39,3\mathrm{s}$ → $R=\tau /C=6,55\mathrm{M\Omega }$
5. $u_C=1000\mathrm{V}\cdot (1-e^{-4})=981,7\mathrm{V}$ (98,2 %)
6. $\tau =3,24\mathrm{ms}$ → a) $t_c=16,2\mathrm{ms}$ b) $u_C=2800\cdot (1-e^{-10/3,24})=2,67\mathrm{kV}$
7. $\tau =1,034\mathrm{s}$, $t=-\tau \ln (1-1,7/5)=0,43\mathrm{s}$

Kondensatorstrom und Zeit (5.5.2)

1. $I_0=100\mathrm{mA}$, $\tau =1\mathrm{ms}$: Entladestrom nach 5 ms?
2. 47 µF, 780 V, entlädt über 2,2 kΩ: a) τ b) Entladezeit c) Strom nach 10 ms?
3. 240 kΩ und 33 nF an 65 V: a) Anfangsstrom b) τ c) Ladezeit d) Strom nach 5 ms?
4. 1,5 kΩ ∥ 12 µF an 220 V, Schalter wird geöffnet: a) Strom vorher b) τ c) $u_C$ nach 8,4 ms d) Strom nach 33,6 ms?
5. Relais (1570 Ω, Abfallspannung 9 V) ∥ 1800 µF, Vorwiderstand 1 kΩ, 24 V: a) Strom im Einschaltmoment b) Betriebsstrom c) Wann fällt das Relais nach dem Abschalten ab?

Lösungen 5.5.2

1. $i=100\mathrm{mA}\cdot e^{-5}=0,67\mathrm{mA}$
2. a) $\tau =103\mathrm{ms}$ b) $t_c=0,52\mathrm{s}$ c) $i=\frac{780}{2200}{e}^{-10/103}=0,32\mathrm{A}$
3. a) $I_0=0,271\mathrm{mA}$ b) $\tau =7,92\mathrm{ms}$ c) $t_c=39,6\mathrm{ms}$ d) $i=0,144\mathrm{mA}$
4. a) $I=220/1500=147\mathrm{mA}$ b) $\tau =18\mathrm{ms}$ c) $u_C=220\cdot e^{-8,4/18}=138\mathrm{V}$ d) $i=147\mathrm{mA}\cdot e^{-33,6/18}=22,7\mathrm{mA}$
5. a) Im Einschaltmoment schließt der leere Kondensator das Relais kurz: $I=24\mathrm{V}/1\mathrm{k\Omega }=24\mathrm{mA}$
   b) $I=24\mathrm{V}/(1000+1570)\Omega =9,34\mathrm{mA}$ → $u_C=9,34\mathrm{mA}\cdot 1570\Omega =14,7\mathrm{V}$
   c) Entladen über das Relais: $\tau =1570\Omega \cdot 1800\mu \mathrm{F}=2,83\mathrm{s}$, $t=\tau \ln (14,7/9)=1,38\mathrm{s}$

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Teil 6 – Spickzettel (zum Auswendiglernen)

Thema	Formel
Kondensator τ	$\tau =RC$
Laden	$u_C=U_0(1-e^{-t/\tau })$, $i=\frac{U_0}{R}{e}^{-t/\tau }$
Entladen	$u_C=U_0{e}^{-t/\tau }$, $i=-\frac{U_0}{R}{e}^{-t/\tau }$
Laden ab $U_1$	$u_C=U_0-(U_0-U_1)e^{-t/\tau }$
Zeit	$t=\tau \ln \frac{U_0}{u_C}$ (Entladen)
Spule τ	$\tau =L/R$
Spule ein	$i=\frac{U_0}{R}(1-e^{-t/\tau })$, $u_L=U_0{e}^{-t/\tau }$
Spule aus	$i=I_0{e}^{-t/\tau }$, $U_{ind}=I_0{R}_{ges}$
Induktivität	$L={\mu }_0{\mu }_r\frac{N^{2}A}{l}$, $u=-L\frac{\Delta i}{\Delta t}$
Energie	$W_C=\frac{1}{2}C{U}^2$, $W_L=\frac{1}{2}L{I}^2$
C parallel / Reihe	$C=C_1+C_2$ / $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$
Sinus	$u=U_s\sin (\omega t+\phi )+U_0$, $\omega =2\pi f$, $T=1/f$
Effektivwert	$U_{eff}=\hat{u}/\sqrt{2}$, mit Offset $\sqrt{U_0^2+U_{AC}^2}$
Leistung	$P=\frac{U_{eff}^2}{R}=\frac{{\hat{u}}^2}{2R}$
Innenwiderstand	${\hat{u}}_R={\hat{u}}_0\frac{R}{R_i+R}$
Thema	Formel
Kondensator τ	$\tau =RC$
Laden	$u_C=U_0(1-e^{-t/\tau })$, $i=\frac{U_0}{R}{e}^{-t/\tau }$
Entladen	$u_C=U_0{e}^{-t/\tau }$, $i=-\frac{U_0}{R}{e}^{-t/\tau }$
Laden ab $U_1$	$u_C=U_0-(U_0-U_1)e^{-t/\tau }$
Zeit	$t=\tau \ln \frac{U_0}{u_C}$ (Entladen)
Spule τ	$\tau =L/R$
Spule ein	$i=\frac{U_0}{R}(1-e^{-t/\tau })$, $u_L=U_0{e}^{-t/\tau }$
Spule aus	$i=I_0{e}^{-t/\tau }$, $U_{ind}=I_0{R}_{ges}$
Induktivität	$L={\mu }_0{\mu }_r\frac{N^{2}A}{l}$, $u=-L\frac{\Delta i}{\Delta t}$
Energie	$W_C=\frac{1}{2}C{U}^2$, $W_L=\frac{1}{2}L{I}^2$
C parallel / Reihe	$C=C_1+C_2$ / $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$
Sinus	$u=U_s\sin (\omega t+\phi )+U_0$, $\omega =2\pi f$, $T=1/f$
Effektivwert	$U_{eff}=\hat{u}/\sqrt{2}$, mit Offset $\sqrt{U_0^2+U_{AC}^2}$
Leistung	$P=\frac{U_{eff}^2}{R}=\frac{{\hat{u}}^2}{2R}$
Innenwiderstand	${\hat{u}}_R={\hat{u}}_0\frac{R}{R_i+R}$

In der Aufgabe steht …	Formel
Kondensator, Zeitkonstante / wie schnell	τ = R · C
Kondensator wird geladen, Spannung nach t	u_C = U₀(1 − e^(−t/τ))
Kondensator wird entladen, Spannung nach t	u_C = U₀ · e^(−t/τ)
Strom beim Laden / Entladen	i = ±(U₀/R) · e^(−t/τ) (beim Entladen Minus)
Kondensator war schon geladen (z. B. Umschalter)	u_C = U₀ − (U₀ − U₁) · e^(−t/τ)
Wann ist ein Wert erreicht?	t = τ · ln(U₀ / u_C) (Entladen)
mehrere Kondensatoren	erst C parallel/Reihe, dann weiter
Spule, Zeitkonstante	τ = L / R
Spule einschalten	i = (U₀/R)(1 − e^(−t/τ)), u_L = U₀ · e^(−t/τ)
Spule ausschalten / Funke / Spitze	i = I₀ · e^(−t/τ), U_ind = I₀ · R_ges
Windungen, Aufbau der Spule	L = μ₀ μr N² A / l
Spannung wegen schneller Stromänderung	u = −L · Δi/Δt
gespeicherte Energie	W_C = ½CU², W_L = ½LI²
Frequenz, Periode, ω	T = 1/f, ω = 2πf
Gleichung eines Sinus / Wert zu einer Zeit	u = U_s sin(ωt + φ) + U₀ (Rechner auf RAD)
Netzspannung, „effektiv“	U_eff = û / √2 (mit Offset: √(U₀² + U_AC²))
Leistung am Widerstand	P = U_eff²/R = û²/(2R)
Spannung bricht unter Last ein	û_R = û₀ · R/(R_i + R)

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Teil 8 – Unsere Signale (aus dem Unterricht gezeichnet)

8.1 Rechtecksignal (symmetrisch)

Gegeben: Amplitude $\hat{u}=2\mathrm{V}$, $f=100\mathrm{Hz}$, Offset $U_0=0,5\mathrm{V}$, symmetrisch (Tastgrad 50 %)

• $T=1/f=10\mathrm{ms}$, $t_{high}=t_{low}=5\mathrm{ms}$
• $U_{max}=U_0+\hat{u}=2,5\mathrm{V}$, $U_{min}=U_0-\hat{u}=-1,5\mathrm{V}$, $U_{pp}=4\mathrm{V}$
• Mittelwert = Offset = 0,5 V

8.2 PWM-/TTL-Signal

Gegeben: $f=2\mathrm{kHz}$, TTL-Pegel 0 V / 5 V, Tastgrad $D=20\%$

• $T=1/2\mathrm{kHz}=0,5\mathrm{ms}$
• $t_{high}=D\cdot T=0,2\cdot 0,5\mathrm{ms}=0,1\mathrm{ms}$, $t_{low}=0,4\mathrm{ms}$
• Mittelwert $\bar{U}=D\cdot U_H=1\mathrm{V}$

8.3 Dreiecksignal (symmetrisch)

Gegeben: $f=5\mathrm{kHz}$, Amplitude $\hat{u}=2\mathrm{V}$, Offset 0 V

• $T=1/5\mathrm{kHz}=0,2\mathrm{ms}$, Anstieg und Abfall je 0,1 ms
• schwingt zwischen $+2\mathrm{V}$ und $-2\mathrm{V}$, $U_{pp}=4\mathrm{V}$
• Steigung $=4\mathrm{V}/0,1\mathrm{ms}=0,04V/\mu \mathrm{s}$

8.4 Sägezahnsignal

Gegeben: $f=10\mathrm{kHz}$, Amplitude $\hat{u}=2\mathrm{V}$, Offset $U_0=1\mathrm{V}$

• $T=1/10\mathrm{kHz}=0,1\mathrm{ms}$
• steigt linear von $-1\mathrm{V}$ auf $+3\mathrm{V}$, springt dann zurück; $U_{pp}=4\mathrm{V}$
• Mittellinie (Offset) bei 1 V

8.5 Sinussignal mit Offset

Gegeben: $f=50\mathrm{kHz}$, Amplitude $\hat{u}=2\mathrm{V}$, Offset $U_0=1\mathrm{V}$

• $T=1/50\mathrm{kHz}=0,02\mathrm{ms}=20\mu \mathrm{s}$
• $u(t)=1\mathrm{V}+2\mathrm{V}\cdot \sin (2\pi \cdot 50\mathrm{kHz}\cdot t)$
• schwingt zwischen $-1\mathrm{V}$ und $+3\mathrm{V}$, Effektivwert (True RMS) $=\sqrt{1^2+(2/\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}\mathrm{V}\approx 1,73\mathrm{V}$

8.6 Strom und Spannung am Widerstand (zwei y-Achsen)

Gegeben: $u(t)=2\mathrm{V}\cdot \sin (1000{\mathrm{s}}^{-1}\cdot t)$, $R=300\Omega$

• $U_s=2\mathrm{V}$, $\omega =1000{\mathrm{s}}^{-1}$, $f=\omega /2\pi \approx 159\mathrm{Hz}$, $T\approx 6,28\mathrm{ms}$
• $I_s=2\mathrm{V}/300\Omega =6,67\mathrm{mA}$, $i(t)=6,67\mathrm{mA}\cdot \sin (1000{\mathrm{s}}^{-1}\cdot t)$
• Strom und Spannung sind in Phase (ohmscher Widerstand)